Bundesgericht
Tribunal fédéral
Tribunale federale
Tribunal federal

2C 595/2021

Arrêt du 30 septembre 2021

IIe Cour de droit public

Composition
MM. et Mme les Juges fédéraux Seiler, Président,
Aubry Girardin et Beusch.
Greffier : M. Wiedler.

Participants à la procédure
A.________,
représentée par Me Romain Jordan, avocat,
recourante,

contre

Service de la consommation et des affaires vétérinaires
du canton de Genève.

Objet
Restitution de l'effet suspensif (euthanasie d'un chien suspecté d'avoir la rage),

recours contre la décision sur effet suspensif
de la Cour de justice de la République et canton
de Genève, Chambre administrative,
du 27 juillet 2021 (ATA/790/2021).

Faits :

A.
Le 8 juin 2021, le Service de la consommation et des affaires vétérinaires de la République et canton de Genève (ci-après: le Service cantonal) a été informé de la présence à Genève d'un chien de race Toy Terrier russe mâle, né en 2021 et appelé X.________. Celui-ci avait été importé de Moldavie - pays où sévit la rage - avant d'être offert à A.________, résidente grecque en séjour temporaire en Suisse. Le chien X.________ était doté d'une puce électronique, mais n'avait pas été déclaré aux douanes suisses. Il n'avait également pas été vacciné contre la rage, ne bénéficiait ni d'un titrage antirabique, ni d'un certificat sanitaire TRACES et avait été importé sans respect de la période de carence de trois mois.
Le même jour, le Service cantonal a ordonné le séquestre provisoire de l'animal, au vu du risque sanitaire que celui-ci représentait.

B.
Par décision du 16 juin 2021, déclarée exécutoire nonobstant recours en raison du risque potentiel de zoonose (maladie animale transmissible à l'homme), le Service cantonal a confirmé le séquestre préventif du chien X.________, a accordé à A.________ un délai au 22 juin 2021 pour lui remettre un plan de retour du chien, celui-ci devant être reconduit par un transporteur professionnel dans son pays de provenance ou tout autre pays d'accueil avant le 26 juin 2021, a ordonné la mise à mort de l'animal en cas d'apparition de symptômes non équivoques de la rage et a ordonné son séquestre définitif et son euthanasie pour le cas où le plan de retour ne serait pas présenté par sa détentrice dans le délai accordé et/ou une reconduction dans le pays de provenance ou tout autre pays d'accueil ne serait pas effectuée avant le 26 juin 2021.
Par acte du 21 juin 2021, A.________ a interjeté un recours contre la décision précitée auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) concluant préalablement à l'octroi de l'effet suspensif et, à titre principal, à l'annulation de la décision attaquée et à ce que la vaccination contre la rage du chien X.________et son isolement durant un mois en vue de son départ pour la Grèce soient ordonnés. Le même jour, le juge délégué de la Cour de justice a fait interdiction au Service cantonal d'euthanasier le chien séquestré jusqu'au prononcé de la décision sur effet suspensif.
Par décision du 27 juillet 2021, la Cour de justice a refusé de restituer l'effet suspensif au recours, tout en ordonnant au Service cantonal de ne pas procéder à l'euthanasie du chien X.________ avant le vendredi 30 juillet 2021 à minuit.

C.
Le 28 juillet 2021, A.________ dépose un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral contre la décision du 27 juillet 2021 de la Cour de justice. Elle conclut "préalablement et à titre superprovisoire déjà" à l'octroi de l'effet suspensif à son recours. Au fond, elle requiert l'annulation de la décision attaquée et sa réforme en ce sens que l'effet suspensif au recours cantonal interjeté le 21 juin 2021 est restitué.
Par ordonnance du 29 juillet 2021, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif à titre superprovisoire.
La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la requête d'effet suspensif au recours déposé devant la Cour de céans et quant à la recevabilité de celui-ci et persiste dans les considérants et le dispositif de sa décision. Le Service cantonal conclut au rejet du recours et à la confirmation de la décision attaquée. L'Office fédéral de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires dépose des observations. Par courrier du 27 septembre 2021, la recourante persiste intégralement dans les conclusions de son recours et sollicite la suspension de la procédure jusqu'à droit connu sur la demande de reconsidération de la décision du 16 juin 2021 qu'elle a déposée le même jour devant le Service cantonal.

Considérant en droit :

1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 29 Prüfung - 1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen.
1    Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen.
2    Bestehen Zweifel, ob das Bundesgericht oder eine andere Behörde zuständig ist, so führt das Gericht mit dieser Behörde einen Meinungsaustausch.
LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 147 I 89 consid. 1).

1.1. Une décision refusant d'accorder au recourant l'effet suspensif à un recours sur le plan cantonal constitue une décision incidente, car elle ne met pas fin au litige (cf. arrêts 2C 368/2021 du 16 juin 2021 consid. 3.2; 2C 923/2020 du 3 décembre 2020 consid. 3.1; 9C 652/2011 du 19 janvier 2012 consid. 4.1). Sous réserve des cas visés par l'art. 92
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 92 - 1 Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren ist die Beschwerde zulässig.
1    Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren ist die Beschwerde zulässig.
2    Diese Entscheide können später nicht mehr angefochten werden.
LTF non réalisés en l'espèce, les décisions incidentes qui sont notifiées séparément ne peuvent, aux termes de l'art. 93 al. 1
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 93 Andere Vor- und Zwischenentscheide - 1 Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde zulässig:
1    Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde zulässig:
a  wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können; oder
b  wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde.
2    Auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen und dem Gebiet des Asyls sind Vor- und Zwischenentscheide nicht anfechtbar.85 Vorbehalten bleiben Beschwerden gegen Entscheide über die Auslieferungshaft sowie über die Beschlagnahme von Vermögenswerten und Wertgegenständen, sofern die Voraussetzungen von Absatz 1 erfüllt sind.
3    Ist die Beschwerde nach den Absätzen 1 und 2 nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, so sind die betreffenden Vor- und Zwischenentscheide durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken.
LTF, faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral que si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale permettant d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Cette dernière hypothèse étant d'emblée exclue, la recevabilité du présent recours est subordonnée à la condition que la décision attaquée soit susceptible de causer un préjudice irréparable. Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 93 Andere Vor- und Zwischenentscheide - 1 Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde zulässig:
1    Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde zulässig:
a  wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können; oder
b  wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde.
2    Auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen und dem Gebiet des Asyls sind Vor- und Zwischenentscheide nicht anfechtbar.85 Vorbehalten bleiben Beschwerden gegen Entscheide über die Auslieferungshaft sowie über die Beschlagnahme von Vermögenswerten und Wertgegenständen, sofern die Voraussetzungen von Absatz 1 erfüllt sind.
3    Ist die Beschwerde nach den Absätzen 1 und 2 nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, so sind die betreffenden Vor- und Zwischenentscheide durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken.
LTF est un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (ATF 144 IV 90 consid. 1.1.3; 140 V 321 consid. 3.6 et la référence; arrêt 2C 368/2021 du 16
juin 2021 consid. 3.2).
En l'occurrence, le refus de restituer l'effet suspensif au recours prononcé par la Cour de justice permet d'exécuter, dès le 30 juillet 2021 à minuit, la décision d'euthanasier le chien de la recourante avant que cette même cour ne se soit prononcée sur le bien-fondé sur le plan juridique de cette mesure sur laquelle il ne sera définitivement plus possible de revenir. La décision refusant l'effet suspensif est donc de nature à causer à l'intéressée un préjudice irréparable au sens indiqué ci-dessus (cf. arrêt 2C 356/2007 du 18 septembre 2007 consid. 1.1). Partant, les conditions de l'art. 93 al. 1 let. a
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 93 Andere Vor- und Zwischenentscheide - 1 Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde zulässig:
1    Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde zulässig:
a  wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können; oder
b  wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde.
2    Auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen und dem Gebiet des Asyls sind Vor- und Zwischenentscheide nicht anfechtbar.85 Vorbehalten bleiben Beschwerden gegen Entscheide über die Auslieferungshaft sowie über die Beschlagnahme von Vermögenswerten und Wertgegenständen, sofern die Voraussetzungen von Absatz 1 erfüllt sind.
3    Ist die Beschwerde nach den Absätzen 1 und 2 nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, so sind die betreffenden Vor- und Zwischenentscheide durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken.
LTF sont réalisées.

1.2. La voie de recours contre une décision incidente est déterminée par le litige principal (cf. ATF 137 III 380 consid. 1.1; 137 III 261 consid. 1.4). En l'espèce, celui-ci porte sur le prononcé de mesures visant à éviter la propagation d'une épizootie fondées notamment sur la loi fédérale du 1er juillet 1966 sur les épizooties (LFE; RS 916.40), l'ordonnance fédérale du 28 novembre 2014 concernant l'importation, le transit et l'exportation d'animaux de compagnie (OITE-AC; RS 916.443.14) et le règlement genevois d'application de ladite loi du 11 novembre 2020 (RaLFE; RSGE M 3 20.02). Il s'agit donc d'une cause de droit public (cf. art. 82 let. a
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 82 Grundsatz - Das Bundesgericht beurteilt Beschwerden:
a  gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts;
b  gegen kantonale Erlasse;
c  betreffend die politische Stimmberechtigung der Bürger und Bürgerinnen sowie betreffend Volkswahlen und -abstimmungen.
LTF) qui ne tombe pas sous le coup de l'une des exceptions prévues par l'art. 83
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 83 Ausnahmen - Die Beschwerde ist unzulässig gegen:
a  Entscheide auf dem Gebiet der inneren oder äusseren Sicherheit des Landes, der Neutralität, des diplomatischen Schutzes und der übrigen auswärtigen Angelegenheiten, soweit das Völkerrecht nicht einen Anspruch auf gerichtliche Beurteilung einräumt;
b  Entscheide über die ordentliche Einbürgerung;
c  Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend:
c1  die Einreise,
c2  Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt,
c3  die vorläufige Aufnahme,
c4  die Ausweisung gestützt auf Artikel 121 Absatz 2 der Bundesverfassung und die Wegweisung,
c5  Abweichungen von den Zulassungsvoraussetzungen,
c6  die Verlängerung der Grenzgängerbewilligung, den Kantonswechsel, den Stellenwechsel von Personen mit Grenzgängerbewilligung sowie die Erteilung von Reisepapieren an schriftenlose Ausländerinnen und Ausländer;
d  Entscheide auf dem Gebiet des Asyls, die:
d1  vom Bundesverwaltungsgericht getroffen worden sind, ausser sie betreffen Personen, gegen die ein Auslieferungsersuchen des Staates vorliegt, vor welchem sie Schutz suchen,
d2  von einer kantonalen Vorinstanz getroffen worden sind und eine Bewilligung betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt;
e  Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern oder von Bundespersonal;
f  Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen, wenn:
fbis  Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts über Verfügungen nach Artikel 32i des Personenbeförderungsgesetzes vom 20. März 200963;
f1  sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt; vorbehalten bleiben Beschwerden gegen Beschaffungen des Bundesverwaltungsgerichts, des Bundesstrafgerichts, des Bundespatentgerichts, der Bundesanwaltschaft sowie der oberen kantonalen Gerichtsinstanzen, oder
f2  der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgebenden Schwellenwert nach Artikel 52 Absatz 1 in Verbindung mit Anhang 4 Ziffer 2 des Bundesgesetzes vom 21. Juni 201961 über das öffentliche Beschaffungswesen nicht erreicht;
g  Entscheide auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse, wenn sie eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit, nicht aber die Gleichstellung der Geschlechter betreffen;
h  Entscheide auf dem Gebiet der internationalen Amtshilfe, mit Ausnahme der Amtshilfe in Steuersachen;
i  Entscheide auf dem Gebiet des Militär-, Zivil- und Zivilschutzdienstes;
j  Entscheide auf dem Gebiet der wirtschaftlichen Landesversorgung, die bei schweren Mangellagen getroffen worden sind;
k  Entscheide betreffend Subventionen, auf die kein Anspruch besteht;
l  Entscheide über die Zollveranlagung, wenn diese auf Grund der Tarifierung oder des Gewichts der Ware erfolgt;
m  Entscheide über die Stundung oder den Erlass von Abgaben; in Abweichung davon ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide über den Erlass der direkten Bundessteuer oder der kantonalen oder kommunalen Einkommens- und Gewinnsteuer, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt oder es sich aus anderen Gründen um einen besonders bedeutenden Fall handelt;
n  Entscheide auf dem Gebiet der Kernenergie betreffend:
n1  das Erfordernis einer Freigabe oder der Änderung einer Bewilligung oder Verfügung,
n2  die Genehmigung eines Plans für Rückstellungen für die vor Ausserbetriebnahme einer Kernanlage anfallenden Entsorgungskosten,
n3  Freigaben;
o  Entscheide über die Typengenehmigung von Fahrzeugen auf dem Gebiet des Strassenverkehrs;
p  Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts auf dem Gebiet des Fernmeldeverkehrs, des Radios und des Fernsehens sowie der Post betreffend:68
p1  Konzessionen, die Gegenstand einer öffentlichen Ausschreibung waren,
p2  Streitigkeiten nach Artikel 11a des Fernmeldegesetzes vom 30. April 199769,
p3  Streitigkeiten nach Artikel 8 des Postgesetzes vom 17. Dezember 201071;
q  Entscheide auf dem Gebiet der Transplantationsmedizin betreffend:
q1  die Aufnahme in die Warteliste,
q2  die Zuteilung von Organen;
r  Entscheide auf dem Gebiet der Krankenversicherung, die das Bundesverwaltungsgericht gestützt auf Artikel 3472 des Verwaltungsgerichtsgesetzes vom 17. Juni 200573 (VGG) getroffen hat;
s  Entscheide auf dem Gebiet der Landwirtschaft betreffend:
s1  ...
s2  die Abgrenzung der Zonen im Rahmen des Produktionskatasters;
t  Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen, namentlich auf den Gebieten der Schule, der Weiterbildung und der Berufsausübung;
u  Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Kaufangebote (Art. 125-141 des Finanzmarktinfrastrukturgesetzes vom 19. Juni 201576);
v  Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts über Meinungsverschiedenheiten zwischen Behörden in der innerstaatlichen Amts- und Rechtshilfe;
w  Entscheide auf dem Gebiet des Elektrizitätsrechts betreffend die Plangenehmigung von Starkstromanlagen und Schwachstromanlagen und die Entscheide auf diesem Gebiet betreffend Enteignung der für den Bau oder Betrieb solcher Anlagen notwendigen Rechte, wenn sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt;
x  Entscheide betreffend die Gewährung von Solidaritätsbeiträgen nach dem Bundesgesetz vom 30. September 201680 über die Aufarbeitung der fürsorgerischen Zwangsmassnahmen und Fremdplatzierungen vor 1981, ausser wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt oder aus anderen Gründen ein besonders bedeutender Fall vorliegt;
y  Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts in Verständigungsverfahren zur Vermeidung einer den anwendbaren internationalen Abkommen im Steuerbereich nicht entsprechenden Besteuerung;
z  Entscheide betreffend die in Artikel 71c Absatz 1 Buchstabe b des Energiegesetzes vom 30. September 201683 genannten Baubewilligungen und notwendigerweise damit zusammenhängenden in der Kompetenz der Kantone liegenden Bewilligungen für Windenergieanlagen von nationalem Interesse, wenn sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt.
LTF. La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte.

1.3. Au surplus, la décision attaquée a été rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 86 Vorinstanzen im Allgemeinen - 1 Die Beschwerde ist zulässig gegen Entscheide:
1    Die Beschwerde ist zulässig gegen Entscheide:
a  des Bundesverwaltungsgerichts;
b  des Bundesstrafgerichts;
c  der unabhängigen Beschwerdeinstanz für Radio und Fernsehen;
d  letzter kantonaler Instanzen, sofern nicht die Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht zulässig ist.
2    Die Kantone setzen als unmittelbare Vorinstanzen des Bundesgerichts obere Gerichte ein, soweit nicht nach einem anderen Bundesgesetz Entscheide anderer richterlicher Behörden der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen.
3    Für Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter können die Kantone anstelle eines Gerichts eine andere Behörde als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts einsetzen.
et al. 2 LTF). La recourante étant détentrice du chien dont l'euthanasie a été ordonnée et destinataire de la décision attaquée, elle dispose d'un intérêt digne de protection à la modification de la décision attaquée et, partant, la qualité pour recourir doit lui être reconnue (art. 89 al. 1
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 89 Beschwerderecht - 1 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer:
1    Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer:
a  vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat;
b  durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist; und
c  ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat.
2    Zur Beschwerde sind ferner berechtigt:
a  die Bundeskanzlei, die Departemente des Bundes oder, soweit das Bundesrecht es vorsieht, die ihnen unterstellten Dienststellen, wenn der angefochtene Akt die Bundesgesetzgebung in ihrem Aufgabenbereich verletzen kann;
b  das zuständige Organ der Bundesversammlung auf dem Gebiet des Arbeitsverhältnisses des Bundespersonals;
c  Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt;
d  Personen, Organisationen und Behörden, denen ein anderes Bundesgesetz dieses Recht einräumt.
3    In Stimmrechtssachen (Art. 82 Bst. c) steht das Beschwerderecht ausserdem jeder Person zu, die in der betreffenden Angelegenheit stimmberechtigt ist.
LTF; cf. arrêt 2C 545/2014 du 9 janvier 2015 consid. 1.1 et l'arrêt cité). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 100 Beschwerde gegen Entscheide - 1 Die Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen.
1    Die Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen.
2    Die Beschwerdefrist beträgt zehn Tage:
a  bei Entscheiden der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen;
b  bei Entscheiden auf den Gebieten der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen und der internationalen Amtshilfe in Steuersachen;
c  bei Entscheiden über die Rückgabe eines Kindes nach dem Europäischen Übereinkommen vom 20. Mai 198089 über die Anerkennung und Vollstreckung von Entscheidungen über das Sorgerecht für Kinder und die Wiederherstellung des Sorgerechts oder nach dem Übereinkommen vom 25. Oktober 198090 über die zivilrechtlichen Aspekte internationaler Kindesentführung;
d  bei Entscheiden des Bundespatentgerichts über die Erteilung einer Lizenz nach Artikel 40d des Patentgesetzes vom 25. Juni 195492.
3    Die Beschwerdefrist beträgt fünf Tage:
a  bei Entscheiden der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen im Rahmen der Wechselbetreibung;
b  bei Entscheiden der Kantonsregierungen über Beschwerden gegen eidgenössische Abstimmungen.
4    Bei Entscheiden der Kantonsregierungen über Beschwerden gegen die Nationalratswahlen beträgt die Beschwerdefrist drei Tage.
5    Bei Beschwerden wegen interkantonaler Kompetenzkonflikte beginnt die Beschwerdefrist spätestens dann zu laufen, wenn in beiden Kantonen Entscheide getroffen worden sind, gegen welche beim Bundesgericht Beschwerde geführt werden kann.
6    ...93
7    Gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines Entscheids kann jederzeit Beschwerde geführt werden.
LTF) et dans les formes prescrites (art. 42
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 42 Rechtsschriften - 1 Rechtsschriften sind in einer Amtssprache abzufassen und haben die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift zu enthalten.
1    Rechtsschriften sind in einer Amtssprache abzufassen und haben die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift zu enthalten.
2    In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt oder aus anderen Gründen ein besonders bedeutender Fall vorliegt, so ist auszuführen, warum die jeweilige Voraussetzung erfüllt ist. 14 15
3    Die Urkunden, auf die sich die Partei als Beweismittel beruft, sind beizulegen, soweit die Partei sie in Händen hat; richtet sich die Rechtsschrift gegen einen Entscheid, so ist auch dieser beizulegen.
4    Bei elektronischer Einreichung muss die Rechtsschrift von der Partei oder ihrem Vertreter beziehungsweise ihrer Vertreterin mit einer qualifizierten elektronischen Signatur gemäss Bundesgesetz vom 18. März 201616 über die elektronische Signatur versehen werden. Das Bundesgericht bestimmt in einem Reglement:
a  das Format der Rechtsschrift und ihrer Beilagen;
b  die Art und Weise der Übermittlung;
c  die Voraussetzungen, unter denen bei technischen Problemen die Nachreichung von Dokumenten auf Papier verlangt werden kann.17
5    Fehlen die Unterschrift der Partei oder ihrer Vertretung, deren Vollmacht oder die vorgeschriebenen Beilagen oder ist die Vertretung nicht zugelassen, so wird eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels angesetzt mit der Androhung, dass die Rechtsschrift sonst unbeachtet bleibt.
6    Unleserliche, ungebührliche, unverständliche, übermässig weitschweifige oder nicht in einer Amtssprache verfasste Rechtsschriften können in gleicher Weise zur Änderung zurückgewiesen werden.
7    Rechtsschriften, die auf querulatorischer oder rechtsmissbräuchlicher Prozessführung beruhen, sind unzulässig.
LTF), le présent recours est recevable.

1.4. Les conclusions doivent être interprétées à la lumière de la motivation figurant dans le mémoire (ATF 137 II 313 consid. 1.3). Bien que la recourante conclue à la réforme de la décision attaquée en ce sens que l'effet suspensif est restitué au recours interjeté le 21 juin 2021 devant la Cour de justice, on comprend, à la lecture de son mémoire, qu'elle requiert uniquement la restitution de l'effet suspensif s'agissant de l'euthanasie de son chien. Partant, son recours ne sera examiné que sur cet aspect.

2.

2.1. La décision statuant sur une requête d'effet suspensif est une décision en matière de mesures provisionnelles au sens de l'art. 98
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 98 Beschränkte Beschwerdegründe - Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden.
LTF, de sorte que la recourante ne peut dénoncer devant le Tribunal fédéral que la violation de ses droits constitutionnels (ATF 137 III 475 consid. 2; 134 II 192 consid. 1.5; arrêt 8C 774/2018 du 30 janvier 2019 consid. 3.1).
Conformément à l'art. 106 al. 2
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 106 Rechtsanwendung - 1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an.
1    Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an.
2    Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist.
LTF, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par la partie recourante (art. 106 al. 2
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 106 Rechtsanwendung - 1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an.
1    Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an.
2    Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist.
LTF), à savoir expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée, en précisant en quoi consiste la violation (ATF 146 I 62 consid. 3; 142 I 99 consid. 1.7.2).

2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 105 Massgebender Sachverhalt - 1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat.
1    Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat.
2    Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht.
3    Richtet sich die Beschwerde gegen einen Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung, so ist das Bundesgericht nicht an die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz gebunden.95
LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 98 Beschränkte Beschwerdegründe - Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden.
LTF, la partie recourante qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que si elle démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. ATF 133 III 585 consid. 4.1; 133 III 393 consid. 7.1; arrêt 5A 189/2021 du 31 août 2021 consid. 2.2). La partie recourante ne peut se limiter à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; elle doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9
SR 101 Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft vom 18. April 1999
BV Art. 9 Schutz vor Willkür und Wahrung von Treu und Glauben - Jede Person hat Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür und nach Treu und Glauben behandelt zu werden.
Cst. (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.3). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (art. 106 al. 2
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 106 Rechtsanwendung - 1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an.
1    Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an.
2    Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist.
LTF; cf. ATF 145 V 188 consid. 2; 141 IV 249 consid. 1.3.1; 140 III 264 consid. 2.3 et les références).

3.
La recourante invoque à plusieurs reprises une constatation insoutenable des faits et une appréciation arbitraire des preuves. Elle fait en substance grief à la Cour de justice d'avoir retenu, selon elle de manière arbitraire, qu'il existait un risque non quantifiable que son chien soit vecteur de la rage, qu'un plan de retour à l'étranger ne pouvait pas être mis à exécution et qu'il était impossible, à ce stade, d'administrer un vaccin antirabique audit chien.

3.1. Il y a arbitraire (art. 9
SR 101 Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft vom 18. April 1999
BV Art. 9 Schutz vor Willkür und Wahrung von Treu und Glauben - Jede Person hat Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür und nach Treu und Glauben behandelt zu werden.
Cst.) dans l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (cf. ATF 146 IV 88 consid. 1.3.1; 144 II 281 consid. 3.6.2).

3.2. La recourante conteste en premier lieu que le chien présente un risque élevé d'infection à la rage. Elle explique à cet égard que la mère du chien X.________ a été vaccinée avant sa naissance en mars 2021, de sorte que celui-ci aurait bénéficié des anticorps maternels durant ses huit à douze premières semaines de vie et aurait été ainsi adéquatement protégé contre la rage durant le temps passé en Moldavie. Elle souligne également que, selon l'art. 142 al. 2
SR 101 Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft vom 18. April 1999
BV Art. 9 Schutz vor Willkür und Wahrung von Treu und Glauben - Jede Person hat Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür und nach Treu und Glauben behandelt zu werden.
de l'ordonnance du 27 juin 1995 sur les épizooties (OFE; RS 916.401), la période d'incubation de la rage est de 120 jours, de deux à trois mois selon l'Organisation mondiale de la santé et, selon un fascicule des Ecoles nationales vétérinaires françaises de septembre 2020, de 15 à 60 jours chez la majorité des chiens. La rage aurait donc déjà dû se déclarer chez l'animal s'il était porteur de la maladie.
Dans l'arrêt attaqué, la Cour de justice a retenu que l'importation illégale du chien X.________ depuis la Moldavie, pays où sévit la rage urbaine (cf. art. 3 let. c
SR 916.443.14 Verordnung vom 28. November 2014 über die Ein-, Durch- und Ausfuhr von Heimtieren (EDAV-Ht)
EDAV-Ht Art. 3
OITE-AC), alors que celui-ci n'était pas vacciné contre cette maladie, suffisait à admettre l'existence d'un risque - certes non quantifiable - qu'il soit vecteur de cette zoonose. La recourante, qui ne conteste pas l'absence de vaccination antirabique du chien ainsi que le fait que celui-ci était également, au moment de son entrée en Suisse, sans titrage antirabique, sans certificat sanitaire et n'avait pas respecté la période de carence de trois mois, se prévaut d'éléments de preuve permettant, selon elle, de retenir "un risque extrêmement faible voire quasiment nul" d'infection à la rage. Ce faisant, quoi qu'elle en pense, elle admet l'existence d'un tel risque, ce qui suffit à exclure tout arbitraire dans l'appréciation de la Cour de justice, en tant que celle-ci retient ce même risque tout en précisant que celui-ci n'est pas quantifiable.

3.3. La recourante reproche ensuite à l'autorité précédente d'avoir retenu que la vaccination antirabique du chien X.________, ainsi que l'exécution de son plan de retour à l'étranger étaient impossibles.
Ces faits pourraient être pertinents pour le jugement au fond que devrait rendre la Cour de justice sur le bien-fondé de la décision du Service cantonal, mais ne sont pas déterminants à ce stade pour apprécier si c'est à juste titre que l'effet suspensif n'a pas été restitué (cf. infra consid. 4). Ils n'ont donc pas à être examinés plus avant.

3.4. Pour le reste, force est de constater que la recourante développe sa propre version des faits et des éléments de preuve qu'elle tient pour concluants, en opposant son appréciation à celle développée par la Cour de justice, ce qui ne saurait suffire à faire tenir cette dernière pour arbitraire. Tel est notamment le cas lorsqu'elle affirme, sans le prouver, que son chien n'aurait été au contact d'aucun animal domestique ou sauvage, durant le temps passé en Moldavie.

3.5. Le grief tiré de l'établissement inexact des faits et de l'appréciation arbitraire des preuves doit partant être écarté. Le Tribunal fédéral statuera donc exclusivement sur la base des faits retenus par la Cour de justice.

4.
La recourante se plaint de la violation arbitraire (art. 9
SR 101 Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft vom 18. April 1999
BV Art. 9 Schutz vor Willkür und Wahrung von Treu und Glauben - Jede Person hat Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür und nach Treu und Glauben behandelt zu werden.
Cst.) de l'art. 66 LPA/GE, s'agissant du refus de la Cour de justice de restituer l'effet suspensif à son recours en lien avec l'euthanasie de son chien.

4.1. Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral n'a pas à déterminer quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement examiner si l'interprétation qui a été faite est défendable. Par conséquent, si celle-ci ne se révèle pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation cantonale en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable. De plus, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 144 I 170 consid. 7.3; arrêt 1C 452/2020 du 23 mars 2021 consid. 4.1). Dans ce contexte, le recours est soumis aux exigences accrues de motivation de l'art. 106 al. 2
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 106 Rechtsanwendung - 1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an.
1    Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an.
2    Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist.
LTF (arrêt 1C 138/2021 du 7 juillet 2021 consid. 2.1).

4.2. L'art. 66 LPA/GE prévoit que, sauf disposition légale contraire, le recours a effet suspensif à moins que l'autorité qui a pris la décision attaquée n'ait ordonné l'exécution nonobstant recours (al. 1). Toutefois, lorsqu'aucun intérêt public ou privé prépondérant ne s'y oppose, la juridiction de recours peut, sur la demande de la partie dont les intérêts sont gravement menacés, retirer ou restituer l'effet suspensif (al. 3).

4.3. Lorsqu'une autorité judiciaire se prononce sur l'effet suspensif ou d'autres mesures provisoires, elle peut se limiter à la vraisemblance des faits et à l'examen sommaire du droit (examen prima facie), en se fondant sur les moyens de preuve immédiatement disponibles, tout en ayant l'obligation de peser les intérêts respectifs des parties (ATF 139 III 86 consid. 4.2; 131 III 473 consid. 2.3; arrêts 2C 368/2021 du 16 juin 2021 consid. 5; 2C 637/2020 du 14 octobre 2020 consid. 6).
La restitution de l'effet suspensif est subordonnée à l'existence de justes motifs, qui résident dans un intérêt public ou privé prépondérant à l'inexécution immédiate de la décision. L'autorité dispose à cet égard d'un large pouvoir d'appréciation (ATF 130 II 149 consid. 2.2; arrêts 2C 368/2021 du 16 juin 2021 consid. 5; 2C 637/2020 du 14 octobre 2020 consid. 6). Le Tribunal fédéral n'examine qu'avec retenue l'appréciation à laquelle a procédé l'instance précédente. Il n'annule une décision sur mesures provisionnelles que si la pesée des intérêts à son origine est dépourvue de justification adéquate et ne peut être suivie, soit en définitive si elle paraît insoutenable (arrêts 2C 368/2021 du 16 juin 2021 consid. 5; 2D 1/2021 du 8 mars 2021 consid. 3; 2C 637/2020 du 14 octobre 2020 consid. 6 et les arrêts cités).
La jurisprudence retient que, lorsque l'autorité statue sur l'effet suspensif, elle peut tenir compte de l'issue prévisible de la procédure au fond, et ainsi anticiper la décision finale, pour autant que celle-ci soit claire (cf. ATF 130 II 149 consid. 2.2; concernant les mesures provisionnelles en général, cf. arrêts 2C 149/2020 du 23 juillet 2020 consid. 3.1; 2C 720/2016 du 18 janvier 2017 consid. 2.1; 2A.397/2005 du 3 janvier 2006 consid. 2.2; 2A.142/2003 du 5 septembre 2003 consid. 3.2, qui indiquent qu'il faut des "circonstances exceptionnelles" justifiant d'anticiper la décision finale). La décision relative à l'effet suspensif ne devrait, si possible, pas préjuger de l'issue du recours, ni rendre d'emblée le recours sans objet en créant une situation de fait irréversible qui rendrait impossible le rétablissement de l'état de fait dicté par la décision finale (cf. ATF 130 II 149 consid. 2.2; 125 II 613 consid. 7; 119 V 503 consid. 3; arrêts 2C 171/2020 du 15 juin 2020 consid. 3.1; 2C 356/2007 du 18 septembre 2007 consid. 3). En effet, le destinataire de la décision sur l'effet suspensif doit pouvoir être protégé des suites dommageables qui pourraient découler d'une décision au fond, laquelle - dûment attaquée - se révélerait
par la suite erronée, à défaut de quoi la protection juridictionnelle se révélerait illusoire (CLÉA BOUCHAT, L'effet suspensif en procédure administrative, 2015, thèse Lausanne 2015, p. 288; cf. également HANSJÖRG SEILER, in Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz, 2e éd. 2016, no 41 ad art. 56
SR 172.021 Bundesgesetz vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (Verwaltungsverfahrensgesetz, VwVG) - Verwaltungsverfahrensgesetz
VwVG Art. 56 - Nach Einreichung der Beschwerde kann die Beschwerdeinstanz, ihr Vorsitzender oder der Instruktionsrichter von Amtes wegen oder auf Begehren einer Partei andere vorsorgliche Massnahmen treffen, um den bestehenden Zustand zu erhalten oder bedrohte Interessen einstweilen sicherzustellen.
PA; MOOR/POLTIER, Droit administratif, vol. II, 3e éd. 2011, p. 307).

4.4. Dans la décision attaquée, pour confirmer le refus de restituer l'effet suspensif, la Cour de justice se contente de relever qu'un vaccin antirabique ne pourrait pas être administré au chien X.________, qu'il reste en fourrière ou qu'il en sorte, si bien que le risque sanitaire demeurera. Puis, elle conclut que, quand bien même la mesure décrétée, à savoir l'euthanasie de l'animal, est invasive et irréversible, l'intérêt public à la lutte contre les zoonoses prime l'intérêt privé de la recourante. Ce raisonnement perd de vue l'objet même de la pesée des intérêts à laquelle la Cour de justice aurait dû se livrer. L'autorité précédente n'a en effet pas analysé le risque concret de propagation de la rage que représente le chien X.________ dans les conditions actuelles de détention durant la procédure et, dans ce contexte, quelle serait l'urgence à l'euthanasier immédiatement, avant qu'elle ne se prononce sur le bien-fondé de cette décision. Elle disposait pourtant des éléments factuels nécessaires pour trancher ces questions.

4.5. En effet, il ressort de l'arrêt attaqué que le chien X.________ est séquestré à la fourrière cantonale pour animaux depuis le 8 juin 2021. Ce séquestre a été ordonné par le Service cantonal afin d'éviter toute contamination de tiers. Il s'agit donc d'une mesure propre à empêcher la propagation de la rage. Cela est confirmé par l'Office fédéral de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires qui relève, dans ses déterminations, que le canton de Genève dispose d'une station de quarantaine qui permet d'héberger un chien suspecté d'avoir la rage en toute sécurité, sa prise en charge étant assurée par du personnel qualifié. Ainsi, l'isolement actuel du chien X.________ dans une station de quarantaine est une mesure certes temporaire, mais propre à éviter qu'il ne propage la rage jusqu'au terme de la procédure au fond devant la Cour de justice qui concerne en particulier son euthanasie, aucun élément ressortant de l'arrêt attaqué ne permettant de conclure le contraire.
Partant, il n'existe, en l'état, aucun intérêt public qui commanderait d'euthanasier en urgence le chien X.________.

4.6. Au contraire, l'intérêt de la recourante à ce que son chien ne soit pas euthanasié est manifeste. Le maintien en vie de cet animal assure à la recourante une protection juridictionnelle efficace, puisqu'il permet de garantir que son recours au fond déposé devant la Cour de justice ne soit pas préjugé au stade de l'effet suspensif et qu'il ne soit pas définitivement privé de son objet avant d'avoir été traité. Or, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué qu'il existerait en l'espèce des circonstances qui justifieraient d'admettre que la décision finale soit anticipée au stade de l'effet suspensif. En conséquence, les intérêts de la recourante doivent l'emporter en l'espèce.

4.7. Sur le vu de ce qui précède, la Cour de justice a appliqué de manière insoutenable l'art. 66 LPA/GE. En l'absence d'intérêt public commandant d'exécuter en urgence la décision, elle ne pouvait pas priver le recours au fond d'objet en créant une situation de fait irréversible. La décision de la Cour de justice, qui repose sur une pesée des intérêts lacunaire, est insoutenable tant dans sa motivation que dans son résultat. Partant, elle relève d'une application arbitraire des règles dictant l'effet suspensif prévues à l'art. 66 LPA/GE. Le recours doit donc être admis sur ce point et l'arrêt litigieux réformé en ce sens que l'effet suspensif est restitué s'agissant de l'euthanasie du chien, mais confirmé s'agissant des autres aspects, en particulier le séquestre du chien (cf. supra consid. 1.4).

4.8. Le grief d'arbitraire étant bien-fondé, il n'est pas nécessaire d'examiner les autres griefs invoqués par la recourante.

5.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours. La décision de la Cour de justice du 27 juillet 2021 est réformée en ce sens que l'effet suspensif au recours interjeté le 21 juin 2021 est restitué en ce qui concerne l'euthanasie du chien X.________. Elle est confirmée pour le surplus. Cela rend sans objet la requête d'effet suspensif formée par la recourante pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
Au vu de l'issue du litige, la recourante ne subit aucun préjudice du fait que la présente procédure ne soit pas suspendue. Partant, la requête de suspension de la procédure sera rejetée.
Aucun frais ne peut être mis à la charge du Département (art. 66 al. 4
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 66 Erhebung und Verteilung der Gerichtskosten - 1 Die Gerichtskosten werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt. Wenn die Umstände es rechtfertigen, kann das Bundesgericht die Kosten anders verteilen oder darauf verzichten, Kosten zu erheben.
1    Die Gerichtskosten werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt. Wenn die Umstände es rechtfertigen, kann das Bundesgericht die Kosten anders verteilen oder darauf verzichten, Kosten zu erheben.
2    Wird ein Fall durch Abstandserklärung oder Vergleich erledigt, so kann auf die Erhebung von Gerichtskosten ganz oder teilweise verzichtet werden.
3    Unnötige Kosten hat zu bezahlen, wer sie verursacht.
4    Dem Bund, den Kantonen und den Gemeinden sowie mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisationen dürfen in der Regel keine Gerichtskosten auferlegt werden, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis, ohne dass es sich um ihr Vermögensinteresse handelt, das Bundesgericht in Anspruch nehmen oder wenn gegen ihre Entscheide in solchen Angelegenheiten Beschwerde geführt worden ist.
5    Mehrere Personen haben die ihnen gemeinsam auferlegten Gerichtskosten, wenn nichts anderes bestimmt ist, zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung zu tragen.
LTF). Le Département versera à la recourante une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 68 Parteientschädigung - 1 Das Bundesgericht bestimmt im Urteil, ob und in welchem Mass die Kosten der obsiegenden Partei von der unterliegenden zu ersetzen sind.
1    Das Bundesgericht bestimmt im Urteil, ob und in welchem Mass die Kosten der obsiegenden Partei von der unterliegenden zu ersetzen sind.
2    Die unterliegende Partei wird in der Regel verpflichtet, der obsiegenden Partei nach Massgabe des Tarifs des Bundesgerichts alle durch den Rechtsstreit verursachten notwendigen Kosten zu ersetzen.
3    Bund, Kantonen und Gemeinden sowie mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisationen wird in der Regel keine Parteientschädigung zugesprochen, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegen.
4    Artikel 66 Absätze 3 und 5 ist sinngemäss anwendbar.
5    Der Entscheid der Vorinstanz über die Parteientschädigung wird vom Bundesgericht je nach Ausgang des Verfahrens bestätigt, aufgehoben oder geändert. Dabei kann das Gericht die Entschädigung nach Massgabe des anwendbaren eidgenössischen oder kantonalen Tarifs selbst festsetzen oder die Festsetzung der Vorinstanz übertragen.
LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :

1.
La requête de suspension de la procédure est rejetée.

2.
Le recours est admis. La décision de la Cour de justice du 27 juillet 2021 est réformée en ce sens que l'effet suspensif au recours interjeté le 21 juin 2021 est restitué s'agissant de l'euthanasie du chien X.________. Elle est confirmée pour le surplus.

3.
Il n'est pas perçu de frais.

4.
La République et canton de Genève versera à la recourante une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.

5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service de la consommation et des affaires vétérinaires du Département de la sécurité, de la population et de la santé et à la Cour de justice, Chambre administrative, de la République et canton de Genève, ainsi qu'à l'Office fédéral de la sécurité alimentaire et des affaires vétérinaires.

Lausanne, le 30 septembre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse

Le Président : Seiler

Le Greffier : Wiedler