Bundesverwaltungsgericht
Tribunal administratif fédéral
Tribunale amministrativo federale
Tribunal administrativ federal


Cour III

C-4340/2013

Arrêt du 26 octobre 2015

Marie-Chantal May Canellas (présidente du collège),

Composition Jenny de Coulon Scuntaro, Daniele Cattaneo, juges,

Sophie Vigliante Romeo, greffière.

A._______,

représentée par le Centre Social Protestant (CSP)
Parties
La Fraternité, Place M.-L. Arlaud 2, 1003 Lausanne,

recourants,

contre

Secrétariat d'Etat aux migrations SEM, Quellenweg 6, 3003 Berne,

autorité inférieure.

Objet Refus d'approbation au renouvellement d'une autorisation de séjour et renvoi de Suisse.

Faits :

A.

A.a Le 12 décembre 2004, A._______, ressortissante du Bénin, née (en) 1980, est entrée en Suisse et y a ensuite déposé une demande d'asile. Par décision du 20 février 2006, l'Office fédéral des migrations (ODM; actuellement: SEM) a rejeté cette requête et prononcé le renvoi de la prénommée. Le 28 avril 2006, la Commission suisse de recours en matière d'asile (CRA ; actuellement : Tribunal administratif fédéral [ci-après : le Tribunal]) a déclaré irrecevable le recours interjeté contre ladite décision, dans la mesure où l'intéressée n'avait pas versé l'avance de frais requise dans le délai imparti.

A.b Le 6 juin 2006, l'ODM a déclaré irrecevable la demande d'A._______ tendant à la reconsidération de la décision rejetant sa demande d'asile. Le 24 juillet 2006, la CRA a déclaré irrecevable le recours interjeté contre cette décision, dès lors qu'il n'y avait pas lieu d'entrer en matière sur ladite requête et que l'avance de frais n'avait pas été versée dans le délai imparti.

A.c La requérante a poursuivi illégalement son séjour sur territoire helvétique.

B.

B.a (En) 2007, elle a donné naissance, à Lucerne, à son fils, C._______, issu de sa relation avec B._______, ressortissant italien, né (en) 1947, titulaire d'une autorisation d'établissement CE/AELE en Suisse.

B.b Le 1er juin 2007, B._______ a reconnu son fils.

C.
Le 3 juillet 2008, l'intéressée a épousé à Payerne le père de son fils. Elle a ainsi été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour CE/AELE au titre du regroupement familial, laquelle a été régulièrement renouvelée jusqu'au 2 juillet 2013.

D.

D.a Par requête de mesures protectrices de l'union conjugale du 28 janvier 2011, A._______a notamment conclu à ce que les époux soient autorisés à vivre séparés.

D.b Lors de l'audience du 24 mars 2011 devant le Tribunal d'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois, les conjoints ont convenu qu'ils vivraient séparés pour une durée indéterminée, que la prénommée quitterait le domicile conjugal d'ici au 30 juin 2011, que la garde de leur fils était confiée à cette dernière et que B._______ bénéficierait d'un libre et large droit de visite.

D.c Le 28 juin 2011, l'autorité précitée a rendu une ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale à l'égard du couple, rappelant la convention partielle passée entre les époux à l'audience précitée, ratifiant celle-ci pour valoir ordonnance partielle de mesures protectrices de l'union conjugale et astreignant le prénommé à contribuer à l'entretien de son épouse et de leur fils par le versement d'une pension mensuelle de 2'500.- francs, allocations familiales en plus.

E.
Par attestation de résidence du 26 octobre 2011, la commune de Payerne a certifié que la requérante était séparée légalement depuis le 1er juillet 2011.

F.

F.a Sur réquisition du Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le SPOP), la police cantonale vaudoise a procédé à l'audition d'A._______ en date du 13 décembre 2011. A cette occasion, cette dernière a déclaré qu'elle avait connu B._______ par l'intermédiaire d'une amie, que, suite à la naissance de leur fils, ils avaient décidé de se marier, qu'ils étaient séparés depuis le 31 juillet 2011 et que c'était elle qui avait requis la séparation, dès lors que son époux était très jaloux, qu'il se mettait en colère si elle saluait un autre homme, qu'il gérait tout, qu'elle n'avait aucun droit avec lui, qu'elle ne pouvait rien décider et que ses sorties se résumaient à aller faire des courses. A cet égard, elle a précisé que le prénommé ne l'avait jamais frappée, qu'il l'avait cependant régulièrement insultée devant des connaissances, qu'il ne supportait pas qu'elle fréquente d'autres personnes que lui et qu'au mois de mars 2011, la police était intervenue à leur domicile suite à une violente dispute, son époux s'étant opposé à ce qu'elle passe un week-end en France chez une copine, mais qu'il n'y avait pas eu de suite. Elle a en outre indiqué que c'était elle qui avait la garde de leur fils, que B._______ avait un droit de visite, à raison de deux week-ends par mois, et qu'il leur versait une contribution d'entretien mensuelle d'environ 2'500.- francs.

F.b Entendu le 19 janvier 2012, le prénommé a expliqué qu'il avait connu la requérante sept ans auparavant chez des amis à Lucerne, que, comme celle-ci était tombée enceinte, ils avaient décidé de se marier, qu'ils étaient séparés depuis le début août 2011 et que, vu le "très peu d'engagement" d'A._______pour le mariage, ils avaient pris ensemble la décision de se séparer, tout en précisant qu'il avait été gravement malade en septembre 2010 et qu'elle s'était très peu occupée de lui. Il a en outre affirmé qu'il n'y avait pas eu de violences conjugales, qu'il versait mensuellement à son épouse une contribution d'entretien de 2'500.- francs, que ce montant allait diminuer, dans la mesure où il serait bientôt retraité, que c'était la prénommée qui avait la garde de leur fils, qu'il voyait régulièrement ce dernier, qu'il souhaitait en obtenir la garde et qu'il bénéficiait d'un large droit de visite.

G.
Lors de l'audience du 10 avril 2012 devant le Tribunal d'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois, les conjoints ont convenu que B._______ contribuerait à l'entretien des siens par le versement d'une pension mensuelle de 1'000.- francs, allocations familiales en plus, et que le chiffre I du dispositif de l'ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale rendue le 28 juin 2011 était maintenue. Le président a ratifié séance tenante cette convention pour valoir ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale.

H.
Par courrier du 10 avril 2012, constatant que le couple s'était définitivement séparé, que l'intéressée ne bénéficiait pas de ses propres ressources financières pour subvenir à son entretien ainsi qu'à celui de son fils et qu'elle touchait des prestations du Revenu d'Insertion (RI), le SPOP a communiqué à la requérante qu'il pourrait révoquer son autorisation de séjour et lui impartir un délai pour quitter la Suisse, mais que son dossier devait être examiné en application de l'art. 50 al. 1 let. b
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
LEtr(RS 142.20), tout en lui donnant l'opportunité de faire part de ses remarques.

I.
Dans ses déterminations du 31 mai 2012, A._______ a allégué, par l'entremise de son conseil, qu'elle s'était séparée de son époux le 30 juin 2011, dans la mesure où elle ne supportait plus les pressions et le contrôle qu'il effectuait sur elle. A ce propos, elle a expliqué que B._______ manifestait une jalousie excessive et l'empêchait de sortir, d'entretenir des relations sociales, de travailler et de cuisiner des plats africains. Elle a ajouté que le prénommé ne lui laissait pas d'argent de poche, que, lorsque les choses n'étaient pas comme il l'entendait, il lui hurlait dessus, en l'humiliant et en la menaçant, qu'il avait refusé que leur fils aille à la crèche et qu'elle ne pouvait ainsi pas chercher un emploi. Elle a en outre précisé que, le 24 décembre 2010, alors qu'elle avait des maux de ventre importants et qu'elle avait fait des efforts pour se lever et préparer à manger, il l'avait gravement insultée, au motif que c'était intolérable qu'elle ne prépare pas une table de fête, que ce n'était qu'après avoir appris qu'elle avait fait une fausse couche, qu'il avait recommencé à lui parler un peu plus gentiment, qu'au mois de mars 2011, elle avait prévu d'aller visiter une amie de passage en France, que son époux s'y était opposé et l'avait enfermée dans leur chambre, qu'elle avait alors décidé de se séparer de lui et qu'elle l'avait définitivement quitté le 1er juillet 2011. Elle a par ailleurs soutenu que ces violences psychologiques avaient eu des répercussions sur sa santé physique et psychique, qu'elle avait commencé une thérapie psychologique de soutien, qu'avant sa séparation, elle avait tenté de créer sa propre entreprise de coiffure, qu'elle l'avait ensuite abandonnée, qu'elle s'était inscrite au chômage, qu'elle avait pu bénéficier d'une mesure de trois mois comme lingère auprès d'une association et que c'était désormais avec l'aide du service social qu'elle poursuivait ses efforts pour trouver un emploi. Elle a enfin argué que la séparation des conjoints était intervenue juste avant leurs trois ans de mariage, que c'était la violence conjugale dont elle avait été victime qui l'avait amenée à prendre la décision de mettre un terme à la vie commune, que son autorisation de séjour devait être renouvelée en application de l'art. 50 al. 1 let. b
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
LEtr, qu'elle était en outre la mère d'un enfant italien titulaire d'une autorisation d'établissement qui pouvait se prévaloir de l'ALCP (RS 0.142.112.681), qu'elle avait la garde exclusive sur son fils et qu'une décision de non renouvellement de son autorisation de séjour aurait pour conséquences d'entraver, voire d'interrompre, durablement toute relation avec son père qui disposait d'un droit de visite libre, tout en invoquant l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH
(RS0.101) et l'art. 3
IR 0.107 Convenzione del 20 novembre 1989 sui diritti del fanciullo
CDF Art. 3 - 1. In tutte le decisioni relative ai fanciulli, di competenza sia delle istituzioni pubbliche o private di assistenza sociale, dei tribunali, delle autorità amministrative o degli organi legislativi, l'interesse superiore del fanciullo deve essere una considerazione permanente.
1    In tutte le decisioni relative ai fanciulli, di competenza sia delle istituzioni pubbliche o private di assistenza sociale, dei tribunali, delle autorità amministrative o degli organi legislativi, l'interesse superiore del fanciullo deve essere una considerazione permanente.
2    Gli Stati parti si impegnano ad assicurare al fanciullo la protezione e le cure necessarie al suo benessere, in considerazione dei diritti e dei doveri dei suoi genitori, dei suoi tutori o di altre persone che hanno la sua responsabilità legale, ed a tal fine essi adottano tutti i provvedimenti legislativi ed amministrativi appropriati.
3    Gli Stati parti vigilano affinché il funzionamento delle istituzioni, servizi ed istituti che hanno la responsabilità dei fanciulli e che provvedono alla loro protezione sia conforme alle norme stabilite dalle autorità competenti in particolare nell'ambito della sicurezza e della salute e per quanto riguarda il numero e la competenza del loro personale nonché l'esistenza di un adeguato controllo.
de la Convention relative aux droits de l'enfant du 20 novembre 1989 (CDE, RS 0.107). Pour confirmer ses dires, elle a notamment produit une lettre de soutien.

J.

J.a Le 21 septembre 2012, le SPOP a révoqué l'autorisation de séjour CE/AELE de la requérante en application de l'art. 62
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 62 Revoca di permessi e di altre decisioni - 1 L'autorità competente può revocare i permessi, eccetto quelli di domicilio, e le altre decisioni giusta la presente legge se:
1    L'autorità competente può revocare i permessi, eccetto quelli di domicilio, e le altre decisioni giusta la presente legge se:
a  lo straniero o il suo rappresentante ha fornito, durante la procedura d'autorizzazione, indicazioni false o taciuto fatti essenziali;
b  lo straniero è stato condannato a una pena detentiva di lunga durata o a una misura penale ai sensi degli articoli 59-61 o 64 CP116;
c  lo straniero ha violato in modo rilevante o ripetutamente o espone a pericolo l'ordine e la sicurezza pubblici in Svizzera o all'estero o costituisce una minaccia per la sicurezza interna o esterna della Svizzera;
d  lo straniero disattende una delle condizioni legate alla decisione;
e  lo straniero o una persona a suo carico dipende dall'aiuto sociale;
f  lo straniero ha tentato di ottenere abusivamente la cittadinanza svizzera oppure la cittadinanza svizzera gli è stata revocata in virtù di una decisione passata in giudicato nell'ambito di un annullamento secondo l'articolo 36 della legge del 20 giugno 2014118 sulla cittadinanza;
g  lo straniero non rispetta un accordo d'integrazione senza validi motivi.
2    Un permesso o un'altra decisione giusta la presente legge non possono essere revocati per il solo motivo che è stato commesso un reato per il quale il giudice penale ha già pronunciato una pena o una misura ma ha rinunciato all'espulsione.
LEtr, tout en se déclarant favorable à la poursuite de son séjour et à la délivrance d'une autorisation de séjour au sens de l'art. 50
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
LEtr en sa faveur et en refusant la délivrance d'une autorisation de séjour par regroupement familial UE/AELE auprès de son fils en application de l'art. 3
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 3 Diritto di ingresso - Ai cittadini di una parte contraente è garantito il diritto di ingresso nel territorio dell'altra parte contraente conformemente alle disposizioni di cui all'allegato I.
annexe I ALCP, compte tenu qu'elle bénéficiait du RI et que son fils ne pouvait pas bénéficier de l'art. 24
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 24 Campo d'applicazione territoriale - Il presente Accordo si applica, da un lato, al territorio della Svizzera e, dall'altro, ai territori in cui si applica il trattato che istituisce la Comunità europea, alle condizioni in esso indicate.
annexe I ALCP.

J.b Par acte du 2 novembre 2012, A._______ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal vaudois.

J.c Le 22 novembre 2012, le SPOP a annulé partiellement la décision précitée en ce qu'elle concernait, d'une part, le refus d'octroyer à la prénommée une autorisation de séjour par regroupement familial auprès de son fils en application des art. 3
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 3 Diritto di ingresso - Ai cittadini di una parte contraente è garantito il diritto di ingresso nel territorio dell'altra parte contraente conformemente alle disposizioni di cui all'allegato I.
et 24
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 24 Campo d'applicazione territoriale - Il presente Accordo si applica, da un lato, al territorio della Svizzera e, dall'altro, ai territori in cui si applica il trattato che istituisce la Comunità europea, alle condizioni in esso indicate.
annexe I ALCP, suite à la conclusion d'un contrat de travail à 60% dès le 1er octobre 2012, et, d'autre part, la délivrance d'une autorisation de séjour au sens de l'art. 50
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
LEtr.

J.d Par décision du 26 novembre 2012, le Tribunal cantonal vaudois a constaté que le recours était devenu sans objet et a rayé la cause du rôle.

K.
Le 4 février 2013, le SPOP a informé la requérante qu'en application de l'art. 3
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 3 Diritto di ingresso - Ai cittadini di una parte contraente è garantito il diritto di ingresso nel territorio dell'altra parte contraente conformemente alle disposizioni di cui all'allegato I.
annexe I ALCP, elle pouvait se prévaloir des droits dérivés de l'accord précité au titre du regroupement familial avec son fils, sous réserve de l'approbation de l'ODM auquel il a transmis le dossier.

L.
Le 13 février 2013, l'ODM a fait savoir à l'intéressée qu'il envisageait de refuser d'approuver l'octroi de ladite autorisation, tout en lui donnant l'opportunité de se prononcer à ce sujet.

M.
Dans ses observations du 18 mars 2013, l'intéressée a souligné que son fils voyait son père plusieurs fois par semaine, que ce dernier le gardait régulièrement lorsqu'elle travaillait et que C._______ entretenait donc des liens très étroits avec son père, tout en vivant avec sa mère. Se référant à un arrêt de la Cour de Justice des Communautés Européennes (CJCE) (arrêt du 19 octobre 2004 C-200/02 Zhu et Chen), la requérante a soutenu qu'elle disposait d'un droit dérivé au regroupement familial en tant que mère d'un ressortissant italien, en vertu de l'art. 3
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 3 Diritto di ingresso - Ai cittadini di una parte contraente è garantito il diritto di ingresso nel territorio dell'altra parte contraente conformemente alle disposizioni di cui all'allegato I.
annexe I ALCP, dès lors qu'elle était financièrement autonome. A cet égard, elle a fait valoir qu'elle ne bénéficiait plus de l'aide sociale depuis le 30 septembre 2012 et qu'elle touchait un salaire mensuel net de 2'200.- francs, la pension alimentaire versée par B._______ et des allocations familiales pour un montant de 200.- francs, soit un revenu total de 3'400.- francs par mois. A titre subsidiaire, elle a demandé à ce que son droit de séjour soit maintenu en application de l'art. 50 al. 1
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
et 2
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
LEtr. Pour confirmer ses dires, elle a notamment fourni un écrit daté du 19 février 2013, dans lequel le prénommé a affirmé qu'étant retraité, il s'occupait régulièrement de son fils lorsqu'A._______travaillait, qu'il le préparait pour l'école et qu'il parlait et faisait des promenades avec lui.

N.
Par décision du 2 juillet 2013, l'ODM a rendu à l'endroit de la prénommée une décision de refus d'approbation au renouvellement de son autorisation de séjour et a prononcé son renvoi de Suisse. Dans la motivation de sa décision, l'office fédéral précité a retenu que la réalité d'une communauté conjugale effectivement vécue pendant plus de trois ans était sujette à caution au vu de l'ensemble des déclarations figurant au dossier et qu'en tout état de cause, l'intéressée ne pouvait revendiquer une intégration réussie au sens de l'art. 50 al. 1 let. a
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
LEtr pour justifier la poursuite de son séjour en Suisse. S'agissant des pressions psychologiques invoquées par la requérante, cette autorité a relevé qu'elles n'étaient pas démontrées à satisfaction, que les conflits vécus au sein du couple ne pouvaient, en tout état de cause, être assimilés à des violences conjugales susceptibles de constituer des raisons personnelles majeures et que la réintégration de l'intéressée dans sa patrie n'était pas gravement compromise, dès lors qu'elle y avait passé les années déterminantes de son existence et qu'elle y avait conservé des attaches importantes, de sorte qu'elle ne pouvait pas non plus se prévaloir de l'art. 50 al. 1 let. b
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
LEtr. L'ODM a par ailleurs ajouté que, si par impossiblele Tribunal administratif fédéral (ci-après: le Tribunal)devait admettre qu'un mineur puisse invoquer l'art. 24
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 24 Campo d'applicazione territoriale - Il presente Accordo si applica, da un lato, al territorio della Svizzera e, dall'altro, ai territori in cui si applica il trattato che istituisce la Comunità europea, alle condizioni in esso indicate.
par. 1 annexe I ALCP, il faudrait encore que celui-ci prouve qu'il dispose pour lui-même et les membres de sa famille des moyens financiers suffisants pour ne pas devoir faire appel à l'aide sociale pendant leur séjour et d'une assurance maladie, tout en constatant que la situation financière de l'intéressée était précaire et qu'il y avait par conséquent lieu de mettre sérieusement en doute sa capacité à subvenir à ses besoins et à ceux de son fils à moyen terme. L'ODM a en outre estimé que la situation personnelle de C._______ était toujours intimement liée à celle de sa mère qui détenait l'autorité parentale sur lui et que les difficultés relatives à l'aménagement d'un éventuel droit de visite adapté à la distance géographique séparant le prénommé de son père ne sauraient être considérées comme un obstacle au départ de Suisse de C._______, de sorte que le refus d'accorder une autorisation de séjour à la requérante ne portait pas atteinte à la vie familiale protégée par l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH. Enfin, ladite autorité a constaté que le dossier ne laissait pas entrevoir l'existence d'obstacles à l'exécution du renvoi de Suisse de l'intéressée.

O.
Par courrier du 15 juillet 2013 adressé à l'ODM, B._______ a réitéré qu'il gardait son fils plusieurs fois par semaine en particulier lorsque la requérante travaillait et qu'ils avaient, depuis sa naissance, des contacts presque quotidiens "grâce à l'organisation de la garde partagée".

P.
Par acte du 31 juillet 2013, A._______ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal, par l'entremise de son mandataire, concluant, principalement, à son annulation et à la délivrance d'une autorisation de séjour en sa faveur et en faveur de son fils en application de l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH, de l'art. 3
IR 0.107 Convenzione del 20 novembre 1989 sui diritti del fanciullo
CDF Art. 3 - 1. In tutte le decisioni relative ai fanciulli, di competenza sia delle istituzioni pubbliche o private di assistenza sociale, dei tribunali, delle autorità amministrative o degli organi legislativi, l'interesse superiore del fanciullo deve essere una considerazione permanente.
1    In tutte le decisioni relative ai fanciulli, di competenza sia delle istituzioni pubbliche o private di assistenza sociale, dei tribunali, delle autorità amministrative o degli organi legislativi, l'interesse superiore del fanciullo deve essere una considerazione permanente.
2    Gli Stati parti si impegnano ad assicurare al fanciullo la protezione e le cure necessarie al suo benessere, in considerazione dei diritti e dei doveri dei suoi genitori, dei suoi tutori o di altre persone che hanno la sua responsabilità legale, ed a tal fine essi adottano tutti i provvedimenti legislativi ed amministrativi appropriati.
3    Gli Stati parti vigilano affinché il funzionamento delle istituzioni, servizi ed istituti che hanno la responsabilità dei fanciulli e che provvedono alla loro protezione sia conforme alle norme stabilite dalle autorità competenti in particolare nell'ambito della sicurezza e della salute e per quanto riguarda il numero e la competenza del loro personale nonché l'esistenza di un adeguato controllo.
par. 1 et 2 CDE, de l'art. 9
IR 0.107 Convenzione del 20 novembre 1989 sui diritti del fanciullo
CDF Art. 9 - 1. Gli Stati parti vigilano affinché il fanciullo non sia separato dai suoi genitori contro la loro volontà a meno che le autorità competenti non decidano, sotto riserva di revisione giudiziaria e conformemente con le leggi di procedura applicabili, che questa separazione è necessaria nell'interesse preminente del fanciullo. Una decisione in questo senso può essere necessaria in taluni casi particolari, ad esempio quando i genitori maltrattano o trascurano il fanciullo oppure se vivono separati ed una decisione debba essere presa riguardo al luogo di residenza del fanciullo.
1    Gli Stati parti vigilano affinché il fanciullo non sia separato dai suoi genitori contro la loro volontà a meno che le autorità competenti non decidano, sotto riserva di revisione giudiziaria e conformemente con le leggi di procedura applicabili, che questa separazione è necessaria nell'interesse preminente del fanciullo. Una decisione in questo senso può essere necessaria in taluni casi particolari, ad esempio quando i genitori maltrattano o trascurano il fanciullo oppure se vivono separati ed una decisione debba essere presa riguardo al luogo di residenza del fanciullo.
2    In tutti i casi previsti al paragrafo 1 del presente articolo, tutte le Parti interessate devono avere la possibilità di partecipare alle deliberazioni e di far conoscere le loro opinioni.
3    Gli Stati parti rispettano il diritto del fanciullo separato da entrambi i genitori o da uno di essi, di intrattenere regolarmente rapporti personali e contatti diretti con entrambi i suoi genitori, a meno che ciò non sia contrario all'interesse preminente del fanciullo.
4    Se la separazione è il risultato di provvedimenti adottati da uno Stato parte, come la detenzione, l'imprigionamento, l'esilio, l'espulsione o la morte (compresa la morte, quale che ne sia la causa, sopravvenuta durante la detenzione) di entrambi i genitori o di uno di essi, o del fanciullo, lo Stato parte fornisce dietro richiesta ai genitori, al fanciullo oppure, se del caso, ad un altro membro della famiglia, le informazioni essenziali concernenti il luogo dove si trovano il familiare o i familiari, a meno che la divulgazione di tali informazioni possa mettere a repentaglio il benessere del fanciullo. Gli Stati parti vigilano inoltre affinché la presentazione di tale domanda non comporti di per sé conseguenze pregiudizievoli per la persona o per le persone interessate.
par. 3 CDE, de l'art. 3
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 3 Diritto di ingresso - Ai cittadini di una parte contraente è garantito il diritto di ingresso nel territorio dell'altra parte contraente conformemente alle disposizioni di cui all'allegato I.
annexe I ALCP ainsi que de l'art. 24
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 24 Campo d'applicazione territoriale - Il presente Accordo si applica, da un lato, al territorio della Svizzera e, dall'altro, ai territori in cui si applica il trattato che istituisce la Comunità europea, alle condizioni in esso indicate.
annexe I ALCP, subsidiairement, à la délivrance d'une autorisation de séjour en application de l'art. 50
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
LEtr, et très subsidiairement, à la reconnaissance de l'illicéité de l'exécution de leur renvoi au sens de l'art. 83 al. 3
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 83 Decisione d'ammissione provvisoria - 1 Se l'esecuzione dell'allontanamento non è possibile, ammissibile o ragionevolmente esigibile, la SEM dispone l'ammissione provvisoria.249
1    Se l'esecuzione dell'allontanamento non è possibile, ammissibile o ragionevolmente esigibile, la SEM dispone l'ammissione provvisoria.249
2    L'esecuzione non è possibile se lo straniero non può partire né alla volta dello Stato d'origine o di provenienza o di uno Stato terzo, né esservi trasportato.
3    L'esecuzione non è ammissibile se la prosecuzione del viaggio dello straniero verso lo Stato d'origine o di provenienza o verso uno Stato terzo è contraria agli impegni di diritto internazionale pubblico della Svizzera.
4    L'esecuzione può non essere ragionevolmente esigibile qualora, nello Stato d'origine o di provenienza, lo straniero venisse a trovarsi concretamente in pericolo in seguito a situazioni quali guerra, guerra civile, violenza generalizzata o emergenza medica.
5    Il Consiglio federale designa gli Stati d'origine o di provenienza o le regioni di tali Stati nei quali il ritorno è ragionevolmente esigibile.250 Se gli stranieri allontanati provengono da uno di tali Stati o da uno Stato membro dell'UE o dell'AELS, si ritiene che l'esecuzione dell'allontanamento sia di norma ragionevolmente esigibile.251
5bis    Il Consiglio federale verifica periodicamente la decisione di cui al capoverso 5.252
6    L'ammissione provvisoria può essere proposta dalle autorità cantonali.
7    L'ammissione provvisoria secondo i capoversi 2 e 4 è esclusa se lo straniero allontanato:253
a  è stato condannato in Svizzera o all'estero a una pena detentiva di lunga durata o nei suoi confronti è stata ordinata una misura penale ai sensi degli articoli 59-61 o 64 CP255;
b  ha violato in modo rilevante o ripetutamente o espone a pericolo la sicurezza e l'ordine pubblici in Svizzera o all'estero o costituisce una minaccia per la sicurezza interna o esterna della Svizzera; o
c  ha causato, con il suo comportamento, l'impossibilità di eseguire l'allontanamento.
8    I rifugiati per i quali esistono motivi di esclusione dall'asilo secondo gli articoli 53 e 54 LAsi257 sono ammessi provvisoriamente.
9    L'ammissione provvisoria non è disposta o si estingue con il passaggio in giudicato dell'espulsione ai sensi dell'articolo 66a o 66abis CP, dell'articolo 49a o 49abis CPM258 o dell'articolo 68 della presente legge.259
10    Le autorità cantonali possono concludere accordi d'integrazione con persone ammesse provvisoriamente se, alla luce dei criteri di cui all'articolo 58a, vi è un bisogno d'integrazione particolare.260
LEtr, de l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH, de l'art. 3
IR 0.107 Convenzione del 20 novembre 1989 sui diritti del fanciullo
CDF Art. 3 - 1. In tutte le decisioni relative ai fanciulli, di competenza sia delle istituzioni pubbliche o private di assistenza sociale, dei tribunali, delle autorità amministrative o degli organi legislativi, l'interesse superiore del fanciullo deve essere una considerazione permanente.
1    In tutte le decisioni relative ai fanciulli, di competenza sia delle istituzioni pubbliche o private di assistenza sociale, dei tribunali, delle autorità amministrative o degli organi legislativi, l'interesse superiore del fanciullo deve essere una considerazione permanente.
2    Gli Stati parti si impegnano ad assicurare al fanciullo la protezione e le cure necessarie al suo benessere, in considerazione dei diritti e dei doveri dei suoi genitori, dei suoi tutori o di altre persone che hanno la sua responsabilità legale, ed a tal fine essi adottano tutti i provvedimenti legislativi ed amministrativi appropriati.
3    Gli Stati parti vigilano affinché il funzionamento delle istituzioni, servizi ed istituti che hanno la responsabilità dei fanciulli e che provvedono alla loro protezione sia conforme alle norme stabilite dalle autorità competenti in particolare nell'ambito della sicurezza e della salute e per quanto riguarda il numero e la competenza del loro personale nonché l'esistenza di un adeguato controllo.
par. 1 et 2 CDE et de l'art. 9
IR 0.107 Convenzione del 20 novembre 1989 sui diritti del fanciullo
CDF Art. 9 - 1. Gli Stati parti vigilano affinché il fanciullo non sia separato dai suoi genitori contro la loro volontà a meno che le autorità competenti non decidano, sotto riserva di revisione giudiziaria e conformemente con le leggi di procedura applicabili, che questa separazione è necessaria nell'interesse preminente del fanciullo. Una decisione in questo senso può essere necessaria in taluni casi particolari, ad esempio quando i genitori maltrattano o trascurano il fanciullo oppure se vivono separati ed una decisione debba essere presa riguardo al luogo di residenza del fanciullo.
1    Gli Stati parti vigilano affinché il fanciullo non sia separato dai suoi genitori contro la loro volontà a meno che le autorità competenti non decidano, sotto riserva di revisione giudiziaria e conformemente con le leggi di procedura applicabili, che questa separazione è necessaria nell'interesse preminente del fanciullo. Una decisione in questo senso può essere necessaria in taluni casi particolari, ad esempio quando i genitori maltrattano o trascurano il fanciullo oppure se vivono separati ed una decisione debba essere presa riguardo al luogo di residenza del fanciullo.
2    In tutti i casi previsti al paragrafo 1 del presente articolo, tutte le Parti interessate devono avere la possibilità di partecipare alle deliberazioni e di far conoscere le loro opinioni.
3    Gli Stati parti rispettano il diritto del fanciullo separato da entrambi i genitori o da uno di essi, di intrattenere regolarmente rapporti personali e contatti diretti con entrambi i suoi genitori, a meno che ciò non sia contrario all'interesse preminente del fanciullo.
4    Se la separazione è il risultato di provvedimenti adottati da uno Stato parte, come la detenzione, l'imprigionamento, l'esilio, l'espulsione o la morte (compresa la morte, quale che ne sia la causa, sopravvenuta durante la detenzione) di entrambi i genitori o di uno di essi, o del fanciullo, lo Stato parte fornisce dietro richiesta ai genitori, al fanciullo oppure, se del caso, ad un altro membro della famiglia, le informazioni essenziali concernenti il luogo dove si trovano il familiare o i familiari, a meno che la divulgazione di tali informazioni possa mettere a repentaglio il benessere del fanciullo. Gli Stati parti vigilano inoltre affinché la presentazione di tale domanda non comporti di per sé conseguenze pregiudizievoli per la persona o per le persone interessate.
par. 3 CDE. La recourante a repris pour l'essentiel ses précédentes allégations. Elle a exposé que, bien qu'ayant exprimé la volonté de se séparer de son époux au début 2011, elle avait vécu avec lui en tout cas jusqu'à la fin du mois de juillet 2011, que l'union conjugale avait effectivement duré trois ans, qu'elle ne percevait plus aucune aide sociale depuis le 30 septembre 2012, qu'elle touchait un salaire mensuel net moyen de 2'066.- francs, ainsi que la pension alimentaire de 1'000.- francs par mois que lui versait le père de son fils, et qu'elle pouvait ainsi se prévaloir d'une intégration réussie au sens de l'art. 50 al. 1 let. a
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
LEtr. Elle a par ailleurs soutenu qu'elle avait dû se résoudre à demander la séparation afin, non seulement, de protéger son intégrité psychique, mais aussi celle de son enfant qui commençait à faire preuve d'un repli sur lui-même, d'une timidité et d'une introversion à tel point préoccupants que sa maîtresse avait proposé un suivi sur le plan psychologique, que les séquelles de la violence conjugale dont elle avait été victime l'avaient poussée à demander un suivi psychiatrique pour elle-même, qu'elle transmettrait un rapport médical dès qu'elle en serait en possession et que sa situation relevait d'un cas de rigueur en application de l'art. 50 al. 1 let. b
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
et al. 2 LEtr. La prénommée a en outre allégué avoir démontré disposer de moyens financiers suffisants pour subvenir à ses besoins ainsi qu'à ceux de son fils et qu'elle remplissait les conditions des art. 3
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 3 Diritto di ingresso - Ai cittadini di una parte contraente è garantito il diritto di ingresso nel territorio dell'altra parte contraente conformemente alle disposizioni di cui all'allegato I.
et 24
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 24 Campo d'applicazione territoriale - Il presente Accordo si applica, da un lato, al territorio della Svizzera e, dall'altro, ai territori in cui si applica il trattato che istituisce la Comunità europea, alle condizioni in esso indicate.
annexe I ALCP. Elle a enfin argué que B._______ versait une pension alimentaire en faveur de leur fils, qu'il le voyait très régulièrement plusieurs fois par semaine, qu'il le gardait pendant qu'elle travaillait, qu'il entretenait avec lui une vraie relation paternelle profonde et essentielle à son épanouissement, qu'un éventuel départ entraînerait certainement une rupture du lien paternel existant et que la décision querellée contrevenait à l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH, tout en précisant qu'elle avait accepté de signer une convention de divorce
stipulant un droit de garde partagée entre les époux. A l'appui de son pourvoi, elle a produit divers documents.

Q.
Appelé à se prononcer sur le recours, l'ODM en a proposé le rejet dans son préavis du 8 octobre 2013.

R.
Invitée à se prononcer sur ce préavis, la recourante a repris pour l'essentiel ses précédentes allégations dans ses déterminations du 8 novembre 2013, tout en insistant sur le fait que son fils avait un rapport particulièrement étroit avec son père. Elle a également communiqué qu'elle continuait son activité de coiffeuse indépendante en plus de son emploi d'aide-soignante.

Le 12 novembre 2013, le Tribunal a porté cette réplique à la connaissance de l'autorité inférieure.

S.
Sur requête du Tribunal, l'intéressée a en particulier fait savoir, par courrier du 26 août 2015, qu'elle avait travaillé du 1er octobre 2012 au 31 juillet 2013 pour un établissement médico-social, qu'elle avait prévu de se mettre à son compte dans la coiffure, que son stock de marchandises était parti en fumée lors d'un incendie qui avait ravagé son appartement, que son projet n'avait ainsi pas pu aboutir, qu'elle avait trouvé un nouvel employeur dans le domaine de la prise en charge des personnes âgées du 14 avril 2014 au 31 mars 2015, qu'elle avait alors un contrat très précaire avec des horaires flexibles sur appel et qu'elle avait ainsi préféré démissionner dans l'espoir de reprendre les cours de la Croix-Rouge, dont elle avait raté les examens juste après ledit incendie, plutôt que de tomber en dépression. Elle a encore précisé qu'elle s'était inscrite au chômage en avril 2015 dans cet objectif, mais que la Croix-Rouge semblait refuser de l'inscrire au cours tant que son autorisation de séjour n'était pas renouvelée définitivement, qu'entre ses indemnités de chômage pour un montant de 1'800.- francs, les prestations complémentaires pour familles de 844.- francs et la pension alimentaire de 1'000.- francs que lui versait B._______ pour leur fils, elle cumulait des revenus à hauteur de 3'645.- francs par mois et que son compagnon, D._______, venait régulièrement passer quelques jours par semaine chez elle et payait certaines courses du ménage. Elle a ajouté que son fils venait de commencer sa cinquième année scolaire, qu'il était un très bon élève et qu'il était très bien intégré tant dans son quartier que dans son école et son club de football. La recourante a enfin expliqué qu'elle n'avait finalement pas souhaité partager formellement la garde de son fils avec son époux, dans la mesure où ils avaient une vision très différente de l'éducation. Pour confirmer ses dires, elle a fourni plusieurs pièces.

Le 31 août 2015, le Tribunal a transmis une copie de ce courrier, ainsi que de ses annexes, au SEM pour information.

Droit :

1.1 Sous réserve des exceptions prévues à l'art. 32
SR 173.32 Legge del 17 giugno 2005 sul Tribunale amministrativo federale (LTAF)
LTAF Art. 32 Eccezioni - 1 Il ricorso è inammissibile contro:
1    Il ricorso è inammissibile contro:
a  le decisioni in materia di sicurezza interna o esterna del Paese, neutralità, protezione diplomatica e altri affari esteri, in quanto il diritto internazionale pubblico non conferisca un diritto al giudizio da parte di un tribunale;
b  le decisioni in materia di diritto di voto dei cittadini nonché di elezioni e votazioni popolari;
c  le decisioni in materia di salario al merito del personale federale, in quanto non concernano la parità dei sessi;
d  ...
e  le decisioni nel settore dell'energia nucleare concernenti:
e1  le autorizzazioni di massima per impianti nucleari,
e2  l'approvazione del programma di smaltimento,
e3  la chiusura di depositi geologici in profondità,
e4  la prova dello smaltimento;
f  le decisioni in materia di rilascio o estensione di concessioni di infrastrutture ferroviarie;
g  le decisioni dell'autorità indipendente di ricorso in materia radiotelevisiva;
h  le decisioni in materia di rilascio di concessioni per case da gioco;
i  le decisioni in materia di rilascio, modifica o rinnovo della concessione della Società svizzera di radiotelevisione (SSR);
j  le decisioni in materia di diritto ai sussidi di una scuola universitaria o di un altro istituto accademico.
2    Il ricorso è inoltre inammissibile contro:
a  le decisioni che, in virtù di un'altra legge federale, possono essere impugnate mediante opposizione o ricorso dinanzi a un'autorità ai sensi dell'articolo 33 lettere c-f;
b  le decisioni che, in virtù di un'altra legge federale, possono essere impugnate mediante ricorso dinanzi a un'autorità cantonale.
de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal administratif fédéral (LTAF, RS 173.32), le Tribunal, en vertu de l'art. 31
SR 173.32 Legge del 17 giugno 2005 sul Tribunale amministrativo federale (LTAF)
LTAF Art. 31 Principio - Il Tribunale amministrativo federale giudica i ricorsi contro le decisioni ai sensi dell'articolo 5 della legge federale del 20 dicembre 196819 sulla procedura amministrativa (PA).
LTAF, connaît des recours contre les décisions au sens de l'art. 5
SR 172.021 Legge federale del 20 dicembre 1968 sulla procedura amministrativa (PA)
PA Art. 5 - 1 Sono decisioni i provvedimenti delle autorità nel singolo caso, fondati sul diritto pubblico federale e concernenti:
1    Sono decisioni i provvedimenti delle autorità nel singolo caso, fondati sul diritto pubblico federale e concernenti:
a  la costituzione, la modificazione o l'annullamento di diritti o di obblighi;
b  l'accertamento dell'esistenza, dell'inesistenza o dell'estensione di diritti o di obblighi;
c  il rigetto o la dichiarazione d'inammissibilità d'istanze dirette alla costituzione, alla modificazione, all'annullamento o all'accertamento di diritti o di obblighi.
2    Sono decisioni anche quelle in materia d'esecuzione (art. 41 cpv. 1 lett. a e b), le decisioni incidentali (art. 45 e 46), le decisioni su opposizione (art. 30 cpv. 2 lett. b e 74), le decisioni su ricorso (art. 61), le decisioni in sede di revisione (art. 68) e l'interpretazione (art. 69).24
3    Le dichiarazioni di un'autorità che rifiuta o solleva pretese da far valere mediante azione non sono considerate decisioni.
PA prises par les autorités mentionnées à l'art. 33
SR 173.32 Legge del 17 giugno 2005 sul Tribunale amministrativo federale (LTAF)
LTAF Art. 33 Autorità inferiori - Il ricorso è ammissibile contro le decisioni:
a  del Consiglio federale e degli organi dell'Assemblea federale in materia di rapporti di lavoro del personale federale, compreso il rifiuto dell'autorizzazione a procedere penalmente;
b  del Consiglio federale concernenti:
b1  la destituzione di un membro del Consiglio della banca o della direzione generale o di un loro supplente secondo la legge del 3 ottobre 200325 sulla Banca nazionale,
b10  la revoca di un membro del consiglio d'amministrazione del Servizio svizzero di assegnazione delle tracce o l'approvazione della risoluzione del rapporto di lavoro del direttore da parte del consiglio d'amministrazione secondo la legge federale del 20 dicembre 195743 sulle ferrovie;
b2  la revoca di un membro del consiglio di amministrazione dell'Autorità federale di vigilanza sui mercati finanziari o l'approvazione dello scioglimento del rapporto di lavoro del direttore da parte del consiglio di amministrazione secondo la legge del 22 giugno 200726 sulla vigilanza dei mercati finanziari,
b3  il blocco di valori patrimoniali secondo la legge del 18 dicembre 201528 sui valori patrimoniali di provenienza illecita,
b4  il divieto di determinate attività secondo la LAIn30,
b4bis  il divieto di organizzazioni secondo la LAIn,
b5  la revoca di un membro del Consiglio d'istituto dell'Istituto federale di metrologia secondo la legge federale del 17 giugno 201133 sull'Istituto federale di metrologia,
b6  la revoca di un membro del consiglio di amministrazione dell'Autorità federale di sorveglianza dei revisori o l'approvazione dello scioglimento del rapporto di lavoro del direttore da parte del consiglio di amministrazione secondo la legge del 16 dicembre 200535 sui revisori,
b7  la revoca di un membro del Consiglio dell'Istituto svizzero per gli agenti terapeutici secondo la legge del 15 dicembre 200037 sugli agenti terapeutici,
b8  la revoca di un membro del consiglio di amministrazione dell'istituto secondo la legge del 16 giugno 201739 sui fondi di compensazione,
b9  la revoca di un membro del consiglio d'Istituto dell'Istituto svizzero di diritto comparato secondo la legge federale del 28 settembre 201841 sull'Istituto svizzero di diritto comparato,
c  del Tribunale penale federale in materia di rapporti di lavoro dei suoi giudici e del suo personale;
cbis  del Tribunale federale dei brevetti in materia di rapporti di lavoro dei suoi giudici e del suo personale;
cquater  del procuratore generale della Confederazione in materia di rapporti di lavoro dei procuratori pubblici federali da lui nominati e del personale del Ministero pubblico della Confederazione;
cquinquies  dell'autorità di vigilanza sul Ministero pubblico della Confederazione in materia di rapporti di lavoro del personale della sua segreteria;
cter  dell'autorità di vigilanza sul Ministero pubblico della Confederazione in materia di rapporti di lavoro dei membri del Ministero pubblico della Confederazione eletti dall'Assemblea federale plenaria;
d  della Cancelleria federale, dei dipartimenti e dei servizi dell'Amministrazione federale loro subordinati o aggregati amministrativamente;
e  degli stabilimenti e delle aziende della Confederazione;
f  delle commissioni federali;
g  dei tribunali arbitrali costituiti in virtù di contratti di diritto pubblico sottoscritti dalla Confederazione, dai suoi stabilimenti o dalle sue aziende;
h  delle autorità o organizzazioni indipendenti dall'Amministrazione federale che decidono nell'adempimento di compiti di diritto pubblico loro affidati dalla Confederazione;
i  delle autorità cantonali, in quanto una legge federale preveda che le loro decisioni sono impugnabili mediante ricorso dinanzi al Tribunale amministrativo federale.
LTAF.

En particulier, les décisions en matière de refus d'approbation à l'octroi (ainsi qu'à la prolongation) d'une autorisation de séjour et de renvoi de Suisse prononcées par le SEM - lequel constitue une unité de l'administration fédérale telle que définie à l'art. 33 let. d
SR 173.32 Legge del 17 giugno 2005 sul Tribunale amministrativo federale (LTAF)
LTAF Art. 33 Autorità inferiori - Il ricorso è ammissibile contro le decisioni:
a  del Consiglio federale e degli organi dell'Assemblea federale in materia di rapporti di lavoro del personale federale, compreso il rifiuto dell'autorizzazione a procedere penalmente;
b  del Consiglio federale concernenti:
b1  la destituzione di un membro del Consiglio della banca o della direzione generale o di un loro supplente secondo la legge del 3 ottobre 200325 sulla Banca nazionale,
b10  la revoca di un membro del consiglio d'amministrazione del Servizio svizzero di assegnazione delle tracce o l'approvazione della risoluzione del rapporto di lavoro del direttore da parte del consiglio d'amministrazione secondo la legge federale del 20 dicembre 195743 sulle ferrovie;
b2  la revoca di un membro del consiglio di amministrazione dell'Autorità federale di vigilanza sui mercati finanziari o l'approvazione dello scioglimento del rapporto di lavoro del direttore da parte del consiglio di amministrazione secondo la legge del 22 giugno 200726 sulla vigilanza dei mercati finanziari,
b3  il blocco di valori patrimoniali secondo la legge del 18 dicembre 201528 sui valori patrimoniali di provenienza illecita,
b4  il divieto di determinate attività secondo la LAIn30,
b4bis  il divieto di organizzazioni secondo la LAIn,
b5  la revoca di un membro del Consiglio d'istituto dell'Istituto federale di metrologia secondo la legge federale del 17 giugno 201133 sull'Istituto federale di metrologia,
b6  la revoca di un membro del consiglio di amministrazione dell'Autorità federale di sorveglianza dei revisori o l'approvazione dello scioglimento del rapporto di lavoro del direttore da parte del consiglio di amministrazione secondo la legge del 16 dicembre 200535 sui revisori,
b7  la revoca di un membro del Consiglio dell'Istituto svizzero per gli agenti terapeutici secondo la legge del 15 dicembre 200037 sugli agenti terapeutici,
b8  la revoca di un membro del consiglio di amministrazione dell'istituto secondo la legge del 16 giugno 201739 sui fondi di compensazione,
b9  la revoca di un membro del consiglio d'Istituto dell'Istituto svizzero di diritto comparato secondo la legge federale del 28 settembre 201841 sull'Istituto svizzero di diritto comparato,
c  del Tribunale penale federale in materia di rapporti di lavoro dei suoi giudici e del suo personale;
cbis  del Tribunale federale dei brevetti in materia di rapporti di lavoro dei suoi giudici e del suo personale;
cquater  del procuratore generale della Confederazione in materia di rapporti di lavoro dei procuratori pubblici federali da lui nominati e del personale del Ministero pubblico della Confederazione;
cquinquies  dell'autorità di vigilanza sul Ministero pubblico della Confederazione in materia di rapporti di lavoro del personale della sua segreteria;
cter  dell'autorità di vigilanza sul Ministero pubblico della Confederazione in materia di rapporti di lavoro dei membri del Ministero pubblico della Confederazione eletti dall'Assemblea federale plenaria;
d  della Cancelleria federale, dei dipartimenti e dei servizi dell'Amministrazione federale loro subordinati o aggregati amministrativamente;
e  degli stabilimenti e delle aziende della Confederazione;
f  delle commissioni federali;
g  dei tribunali arbitrali costituiti in virtù di contratti di diritto pubblico sottoscritti dalla Confederazione, dai suoi stabilimenti o dalle sue aziende;
h  delle autorità o organizzazioni indipendenti dall'Amministrazione federale che decidono nell'adempimento di compiti di diritto pubblico loro affidati dalla Confederazione;
i  delle autorità cantonali, in quanto una legge federale preveda che le loro decisioni sono impugnabili mediante ricorso dinanzi al Tribunale amministrativo federale.
LTAF - sont susceptibles de recours au Tribunal (art. 1 al. 2
SR 173.32 Legge del 17 giugno 2005 sul Tribunale amministrativo federale (LTAF)
LTAF Art. 1 Principio - 1 Il Tribunale amministrativo federale è il tribunale amministrativo generale della Confederazione.
1    Il Tribunale amministrativo federale è il tribunale amministrativo generale della Confederazione.
2    In quanto la legge non escluda il ricorso al Tribunale federale, il Tribunale amministrativo federale giudica quale autorità di grado precedente.
3    È dotato di 50-70 posti di giudice.
4    L'Assemblea federale stabilisce il numero dei posti di giudice mediante ordinanza.
5    Per far fronte a un afflusso straordinario di nuove pratiche, l'Assemblea federale può di volta in volta autorizzare, per due anni al massimo, posti supplementari di giudice.
LTAF).

1.2 A moins que la LTAF n'en dispose autrement, la procédure devant le Tribunal est régie par la PA (art. 37
SR 173.32 Legge del 17 giugno 2005 sul Tribunale amministrativo federale (LTAF)
LTAF Art. 37 Principio - La procedura dinanzi al Tribunale amministrativo federale è retta dalla PA56, in quanto la presente legge non disponga altrimenti.
LTAF).

1.3 A._______, agissant pour elle-même et son fils, a qualité pour recourir (art. 48 al. 1
SR 172.021 Legge federale del 20 dicembre 1968 sulla procedura amministrativa (PA)
PA Art. 48 - 1 Ha diritto di ricorrere chi:
1    Ha diritto di ricorrere chi:
a  ha partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore o è stato privato della possibilità di farlo;
b  è particolarmente toccato dalla decisione impugnata; e
c  ha un interesse degno di protezione all'annullamento o alla modificazione della stessa.
2    Ha inoltre diritto di ricorrere ogni persona, organizzazione o autorità cui un'altra legge federale riconosce tale diritto.
PA). Présenté dans la forme et les délais prescrits par la loi, le recours est recevable (art. 50
SR 172.021 Legge federale del 20 dicembre 1968 sulla procedura amministrativa (PA)
PA Art. 50 - 1 Il ricorso dev'essere depositato entro 30 giorni dalla notificazione della decisione.
1    Il ricorso dev'essere depositato entro 30 giorni dalla notificazione della decisione.
2    Il ricorso per denegata o ritardata giustizia può essere interposto in ogni tempo.
et art. 52
SR 172.021 Legge federale del 20 dicembre 1968 sulla procedura amministrativa (PA)
PA Art. 52 - 1 L'atto di ricorso deve contenere le conclusioni, i motivi, l'indicazione dei mezzi di prova e la firma del ricorrente o del suo rappresentante; devono essere allegati la decisione impugnata e i documenti indicati come mezzi di prova, se sono in possesso del ricorrente.
1    L'atto di ricorso deve contenere le conclusioni, i motivi, l'indicazione dei mezzi di prova e la firma del ricorrente o del suo rappresentante; devono essere allegati la decisione impugnata e i documenti indicati come mezzi di prova, se sono in possesso del ricorrente.
2    Se il ricorso non soddisfa a questi requisiti o se le conclusioni o i motivi del ricorrente non sono sufficientemente chiari, e il ricorso non sembra manifestamente inammissibile, l'autorità di ricorso assegna al ricorrente un breve termine suppletorio per rimediarvi.
3    Essa gli assegna questo termine con la comminatoria che, decorrendo infruttuoso, deciderà secondo l'inserto o, qualora manchino le conclusioni, i motivi oppure la firma, non entrerà nel merito del ricorso.
PA).

1.4 Il s'impose de relever d'emblée que le Tribunal peut examiner uniquement les rapports de droit sur lesquels l'autorité administrative compétente s'est prononcée sous la forme d'une décision, laquelle détermine l'objet de la contestation (cf. ATF 136 II 165 consid. 5, 134 V 418 consid. 5.2.1 p. 426 et références citées; ATAF 2010/5 consid. 2 p. 58 et doctrine et jurisprudence citée).

Le seul objet du litige est ici la question du refus d'approbation au renouvellement de l'autorisation de séjour d'A._______. Ainsi, la conclusion de la recourante tendantà la délivrance d'une autorisation de séjour en faveur de son fils est dès lors irrecevable, cette question ne faisant précisément pas partie de l'objet du litige, étant encore précisé que C._______ est titulaire d'une autorisation d'établissement. Le recours formé au nom de ce dernier s'avère pareillement irrecevable puisque la décision attaquée ne l'atteint pas dans ses droits.

2.
La recourante peut invoquer devant le Tribunal la violation du droit fédéral, y compris l'excès ou l'abus du pouvoir d'appréciation, la constatation inexacte ou incomplète des faits pertinents ainsi que l'inopportunité de la décision entreprise, sauf lorsqu'une autorité cantonale a statué comme autorité de recours (cf. art. 49
SR 172.021 Legge federale del 20 dicembre 1968 sulla procedura amministrativa (PA)
PA Art. 49 - Il ricorrente può far valere:
a  la violazione del diritto federale, compreso l'eccesso o l'abuso del potere di apprezzamento;
b  l'accertamento inesatto o incompleto di fatti giuridicamente rilevanti;
c  l'inadeguatezza; questa censura non è ammissibile quando un'autorità cantonale ha giudicato come autorità di ricorso.
PA). L'autorité de recours n'est pas liée par les motifs invoqués par les parties (cf. art. 62 al. 4
SR 172.021 Legge federale del 20 dicembre 1968 sulla procedura amministrativa (PA)
PA Art. 62 - 1 L'autorità di ricorso può modificare la decisione impugnata a vantaggio di una parte.
1    L'autorità di ricorso può modificare la decisione impugnata a vantaggio di una parte.
2    Essa può modificare a pregiudizio di una parte la decisione impugnata quando questa violi il diritto federale o poggi su un accertamento inesatto o incompleto dei fatti; per inadeguatezza, la decisione impugnata non può essere modificata a pregiudizio di una parte, a meno che la modificazione giovi ad una controparte.
3    L'autorità di ricorso che intenda modificare la decisione impugnata a pregiudizio di una parte deve informarla della sua intenzione e darle la possibilità di esprimersi.
4    L'autorità di ricorso non è vincolata in nessun caso dai motivi del ricorso.
PA), ni par les considérants juridiques de la décision attaquée (cf. notamment André Moser et al., Prozessieren vor dem Bundesverwaltungsgericht, Handbücher für die Anwaltspraxis, Tome X, 2èmeéd. 2013, pp. 226/227, ad ch. 3.197; Moor / Poltier, Droit administratif, vol. II, 2011, pp. 300 et 301, ch. 2.2.6.5, ainsi que la jurisprudence citée). Aussi peut-elle admettre ou rejeter le pourvoi pour d'autres motifs que ceux invoqués (cf. notamment ATAF 2007/41 consid. 2, et réf. citées; Moser et al., op. cit., p. 24 ch. 1.54; Moor / Poltier, op. cit., ibidem). Dans son arrêt, elle prend en considération l'état de fait existant au moment où elle statue (cf. ATAF 2014/1 consid. 2, et jurisprudence citée).

3.
Les autorités chargées de l'exécution de la LEtr s'assistent mutuellement dans l'accomplissement de leurs tâches (art. 97 al. 1
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 97 - 1 Le autorità incaricate dell'esecuzione della presente legge collaborano nell'adempimento dei compiti loro assegnati. Esse forniscono le informazioni necessarie e, su richiesta, consentono la consultazione degli atti ufficiali.
1    Le autorità incaricate dell'esecuzione della presente legge collaborano nell'adempimento dei compiti loro assegnati. Esse forniscono le informazioni necessarie e, su richiesta, consentono la consultazione degli atti ufficiali.
2    Le altre autorità federali, cantonali e comunali sono tenute, su richiesta, a fornire alle autorità menzionate nel capoverso 1 i dati e le informazioni necessari per l'applicazione della presente legge.
3    Il Consiglio federale determina quali dati vanno comunicati alle autorità menzionate nel capoverso 1 concernenti:
a  l'avvio di inchieste penali;
b  le sentenze di diritto civile e penale;
c  le modifiche legate allo stato civile e il diniego di contrarre matrimonio;
d  il versamento di prestazioni dell'aiuto sociale;
dbis  il versamento di indennità di disoccupazione;
dquater  i provvedimenti disciplinari disposti da autorità scolastiche;
dquinquies  i provvedimenti disposti da autorità di protezione dei minori e degli adulti;
dter  il versamento di prestazioni complementari ai sensi della LPC314;
e  altre decisioni che lasciano supporre un bisogno d'integrazione particolare alla luce dei criteri di cui all'articolo 58a;
f  ...
4    Se, in applicazione dell'articolo 26a LPC, una delle autorità menzionate nel capoverso 1 riceve dati riguardanti il versamento di una prestazione complementare, essa comunica spontaneamente l'eventuale mancata proroga o l'eventuale revoca del permesso di dimora all'organo competente per la determinazione e il versamento della prestazione complementare.319
LEtr). Le Conseil fédéral détermine les cas dans lesquels les autorisations de courte durée, de séjour ou d'établissement, ainsi que les décisions préalables des autorités cantonales du marché du travail sont soumises à l'approbation du SEM. Celui-ci peut refuser son approbation ou limiter la portée de la décision cantonale (cf. art. 40 al. 1
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 40 Autorità competenti per il rilascio dei permessi e decisione preliminare delle autorità preposte al mercato del lavoro - 1 I permessi di cui agli articoli 32-35 e 37-39 sono rilasciati dai Cantoni. È fatta salva la competenza dell'autorità federale nel contesto di misure limitative (art. 20) e di deroghe alle condizioni d'ammissione (art. 30) e alla procedura d'approvazione (art. 99).
1    I permessi di cui agli articoli 32-35 e 37-39 sono rilasciati dai Cantoni. È fatta salva la competenza dell'autorità federale nel contesto di misure limitative (art. 20) e di deroghe alle condizioni d'ammissione (art. 30) e alla procedura d'approvazione (art. 99).
2    Se non sussiste un diritto all'esercizio di un'attività lucrativa, è necessaria una decisione preliminare delle autorità cantonali preposte al mercato del lavoro per ammettere l'esercizio di un'attività lucrativa, il cambiamento d'impiego o il passaggio a un'attività indipendente.
3    Se un Cantone chiede il rilascio di un permesso di soggiorno di breve durata o di dimora computato sui contingenti della Confederazione, la decisione preliminare è emanata dalla SEM.
et 99
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 99 Procedura d'approvazione - 1 Il Consiglio federale determina i casi in cui i permessi di soggiorno di breve durata, di dimora e di domicilio nonché le decisioni preliminari delle autorità cantonali preposte al mercato del lavoro sono soggetti all'approvazione della SEM.
1    Il Consiglio federale determina i casi in cui i permessi di soggiorno di breve durata, di dimora e di domicilio nonché le decisioni preliminari delle autorità cantonali preposte al mercato del lavoro sono soggetti all'approvazione della SEM.
2    La SEM può rifiutare di approvare la decisione di un'autorità amministrativa cantonale o di un'autorità cantonale di ricorso, limitarne la durata di validità oppure vincolarla a condizioni e oneri.
LEtr, en relation avec les art. 85
SR 142.201 Ordinanza del 24 ottobre 2007 sull'ammissione, il soggiorno e l'attività lucrativa (OASA)
OASA Art. 85 Permessi e decisioni preliminari soggetti ad approvazione - (art. 30 cpv. 2 e 99 LStrI)
1    La SEM è competente per l'approvazione del rilascio e del rinnovo dei permessi di soggiorno di breve durata e di dimora, del rilascio dei permessi di domicilio nonché delle decisioni preliminari delle autorità cantonali preposte al mercato del lavoro (art. 83).
2    Il DFGP determina in un'ordinanza i casi in cui i permessi di soggiorno di breve durata, di dimora o di domicilio nonché le decisioni preliminari delle autorità preposte al mercato del lavoro devono essere sottoposti alla procedura d'approvazione.227
3    L'autorità cantonale preposta al mercato del lavoro (art. 83) e l'autorità cantonale della migrazione (art. 88 cpv. 1) possono sottoporre alla SEM per approvazione una decisione cantonale affinché verifichi se le condizioni previste dal diritto federale sono adempiute.228
et 86
SR 142.201 Ordinanza del 24 ottobre 2007 sull'ammissione, il soggiorno e l'attività lucrativa (OASA)
OASA Art. 86 Procedura d'approvazione - 1 La SEM può negare l'approvazione, limitarla nel tempo o vincolarla a condizioni e oneri.229
1    La SEM può negare l'approvazione, limitarla nel tempo o vincolarla a condizioni e oneri.229
2    Nega l'approvazione:
a  per il primo rilascio o per la proroga di un permesso, se le condizioni d'ammissione non sono adempite o se sussiste un motivo di revoca secondo l'articolo 62 LStrI;
b  per il rilascio di un permesso di domicilio, se le condizioni secondo l'articolo 34 LStrI non sono adempite;
c  per la proroga di un permesso di dimora se:
c1  lo straniero in questione non ha il centro dei suoi interessi in Svizzera,
c2  le condizioni d'ammissione non sono più adempite,
c3  sussiste un motivo di revoca secondo l'articolo 62 LStrI, o se
c4  lo straniero in questione non si attiene più allo scopo del soggiorno indicato nella procedura d'esame della sua domanda, senza che sia stata successivamente autorizzata una modifica di tale scopo.
3    La SEM rilascia un permesso d'entrata (art. 5) se ha dato l'approvazione per il primo rilascio del permesso di soggiorno di breve durata o del permesso di dimora. Sono fatti salvi i permessi secondo l'articolo 85 capoverso 2.
4    L'approvazione della SEM vale anche dopo un cambiamento di Cantone.
5    La carta di soggiorno può essere rilasciata soltanto dopo l'approvazione da parte della SEM.
de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative [OASA, RS 142.201], dans leur nouvelle teneur selon le ch. I de l'ordonnance du Département fédéral de justice et police [DFJP] du 12 août 2015 relative aux autorisations soumises à la procédure d'approbation et aux décisions préalables dans le domaine du droit des étrangers [RS 142.201.1], toutes deux en vigueur depuis le 1erseptembre 2015, suite à l'ATF 141 II 169 consid. 4; cf. également ch. 1.3.1.1 et 1.3.1.2 des Directives et circulaires de l'autorité intimée en ligne sur son site internet https://www.sem.admin.ch> Publication & service > Directives et circulaires > I. Domaine des étrangers ; version remaniée et unifiée du 25 octobre 2013, état au 1erseptembre 2015 [site consulté en octobre 2015]).

La demande d'autorisation de séjour de l'intéressée, n'a pas fait l'objet d'une décision prise sur recours par une instance cantonale de recours. Le Tribunal cantonal vaudois a en effet uniquement radié du rôle le recours introduit par la recourante, la procédure étant devenue sans objet (cf. let. J supra). Il s'ensuit que ni le Tribunal, ni le SEM ne sont liés par la décision du SPOP et peuvent parfaitement s'écarter de l'appréciation faite par cette autorité.

4.

4.1 L'étranger n'a en principe aucun droit à la délivrance d'une autorisation de séjour, à moins qu'il ne puisse invoquer en sa faveur une disposition particulière du droit fédéral ou d'un traité lui conférant un tel droit (cf. notamment ATF 135 II 1 consid. 1.1; 131 II 339 consid. 1, et la jurisprudence citée).

Aux termes de son art. 2 al. 2
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 2 Campo d'applicazione - 1 La presente legge si applica laddove, in materia di stranieri, non siano applicabili altre disposizioni del diritto federale oppure trattati internazionali conclusi dalla Svizzera.
1    La presente legge si applica laddove, in materia di stranieri, non siano applicabili altre disposizioni del diritto federale oppure trattati internazionali conclusi dalla Svizzera.
2    Ai cittadini degli Stati membri della Comunità europea (CE) e ai loro familiari, nonché ai lavoratori distaccati in Svizzera da un datore di lavoro con domicilio o sede in uno di questi Stati, la presente legge si applica solo se l'Accordo del 21 giugno 19994 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone non contiene disposizioni derogatorie o se la presente legge prevede disposizioni più favorevoli.
3    Ai cittadini degli Stati membri dell'Associazione europea di libero scambio (AELS) e ai loro familiari, nonché ai lavoratori distaccati in Svizzera da un datore di lavoro con domicilio o sede in uno di questi Stati, la presente legge si applica solo se l'Accordo del 21 giugno 20015 di emendamento della Convenzione istitutiva dell'Associazione europea di libero scambio non contiene disposizioni derogatorie o se la presente legge prevede disposizioni più favorevoli.
4    Le disposizioni sulla procedura in materia di visto nonché sull'entrata in Svizzera e sulla partenza dalla Svizzera si applicano soltanto in quanto gli Accordi di associazione alla normativa di Schengen non contemplino disposizioni divergenti.6
5    Gli Accordi di associazione alla normativa di Schengen sono elencati nell'allegato 1 numero 1.7
, la LEtr n'est applicable aux ressortissants des Etats membres de la Communauté européenne (CE), aux membres de leur famille et aux travailleurs détachés que si l'ALCP n'en dispose pas autrement ou si ladite loi prévoit des dispositions plus favorables.

5.1 Il convient en premier lieu d'examiner si la recourante peut se prévaloir d'un droit à une autorisation de séjour sur la base de l'ALCP du fait de son mariage avec B._______, ressortissant italien, titulaire d'une autorisation d'établissement CE/AELE.

5.2 Selon le Tribunal fédéral, les étrangers mariés à un travailleur communautaire jouissent, en principe, d'un droit de séjour pendant toute la durée formelle du mariage, attendu qu'ils n'ont pas à vivre en permanence sous le même toit que leur époux pour bénéficier du droit au regroupement familial prévu à l'art. 3
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 3 Diritto di ingresso - Ai cittadini di una parte contraente è garantito il diritto di ingresso nel territorio dell'altra parte contraente conformemente alle disposizioni di cui all'allegato I.
par. 1 annexe I ALCP (cf. ATF 130 II 113 consid. 8.3 et 9.5). Toutefois, en cas de séparation des époux, il y a abus de droit à invoquer l'art. 3
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 3 Diritto di ingresso - Ai cittadini di una parte contraente è garantito il diritto di ingresso nel territorio dell'altra parte contraente conformemente alle disposizioni di cui all'allegato I.
par. 1 annexe I ALCP lorsque le lien conjugal est vidé de toute substance et que la demande de regroupement familial vise seulement à obtenir ou à prolonger une autorisation de séjour pour l'époux du travailleur communautaire (cf. ATF 139 II 393 consid. 2.1 et les références citées). Le mariage n'existe plus que formellement lorsque l'union conjugale est définitivement rompue, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a plus d'espoir de réconciliation ; les causes et les motifs de la rupture ne jouent pas de rôle (cf. ATF 130 II précité consid. 4.2 et la jurisprudence citée).

5.3 En l'espèce, les conjoints sont séparés depuis le mois de juillet, voire août 2011, soit depuis un peu plus de quatre ans (cf. ci-dessus, let. E, F.a, F.b, I et P). Leur situation est réglée par des mesures protectrices de l'union conjugale qui ont été prononcées par le Tribunal d'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois le 28 juin 2011. Par ailleurs, le dossier ne contient aucun indice d'une quelconque tentative de reprise de la vie commune depuis la séparation du couple. Aussi, le Tribunal considère le lien conjugal comme étant définitivement rompu. Dans ces conditions, A._______ ne saurait se prévaloir - ce qu'elle se garde d'ailleurs de faire - de son mariage avec un ressortissant italien pour revendiquer un droit à une autorisation de séjour en vertu de l'art. 3
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 3 Diritto di ingresso - Ai cittadini di una parte contraente è garantito il diritto di ingresso nel territorio dell'altra parte contraente conformemente alle disposizioni di cui all'allegato I.
par. 1 annexe I ALCP.

6.1.1 Se pose également la question de savoir si l'enfant C._______, âgé de huit ans et demi, qui a été placé sous la garde de sa mère (cf. ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugalerendue, le 28 juin 2011, par le Tribunal d'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois; cf. ci-dessus, let. D.b, D.c et S) et qui est titulaire de la nationalité italienne, a un droit propre de demeurer en Suisse, dont la recourante pourrait bénéficier à titre dérivé.

6.1.2 Le seul droit propre du prénommé de demeurer en Suisse peut être celui de l'art. 6 ALCP, qui garantit aux personnes n'exerçant pas d'activité économique le droit de séjourner sur le territoire d'une partie contractante, conformément aux dispositions de l'annexe I ALCP relatives aux non-actifs (cf. art. 24
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 24 Campo d'applicazione territoriale - Il presente Accordo si applica, da un lato, al territorio della Svizzera e, dall'altro, ai territori in cui si applica il trattato che istituisce la Comunità europea, alle condizioni in esso indicate.
annexe I ALCP; voir notamment arrêts du TF 2C_375/2014 du 4 février 2015 consid. 3.1; 2C_470/2014 du 29 janvier 2015 consid. 3.1, et jurisprudence citée).

6.2.1 En vertu de l'art. 24
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 24 Campo d'applicazione territoriale - Il presente Accordo si applica, da un lato, al territorio della Svizzera e, dall'altro, ai territori in cui si applica il trattato che istituisce la Comunità europea, alle condizioni in esso indicate.
par. 1 annexe I ALCP, une personne ressortissante d'une partie contractante n'exerçant pas d'activité économique dans le pays de résidence reçoit un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins, à condition qu'elle prouve aux autorités nationales compétentes qu'elle dispose pour elle-même et les membres de sa famille de moyens financiers suffisants pour ne pas devoir faire appel à l'aide sociale pendant son séjour (let. a) et d'une assurance-maladie couvrant l'ensemble des risques (let. b). Le paragraphe 2 de l'art. 24
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 24 Campo d'applicazione territoriale - Il presente Accordo si applica, da un lato, al territorio della Svizzera e, dall'altro, ai territori in cui si applica il trattato che istituisce la Comunità europea, alle condizioni in esso indicate.
annexe I ALCP précise que les moyens financiers nécessaires sont réputés suffisants s'ils dépassent le montant en-dessous duquel les nationaux, eu égard à leur situation personnelle, peuvent prétendre à des prestations d'assistance. Selon l'art. 16 al. 1
SR 142.203 Ordinanza del 22 maggio 2002 concernente la libera circolazione delle persone tra la Svizzera e l'Unione europea e i suoi Stati membri, tra la Svizzera e il Regno Unito e tra gli Stati membri dell'Associazione europea di libero scambio (Ordinanza sulla libera circolazione delle persone, OLCP) - Ordinanza sull'introduzione della libera circolazione delle persone
OLCP Art. 16 Mezzi finanziari - (art. 24 all. I dell'Acc. sulla libera circolazione delle persone e art. 23 all. K della Conv. AELS)
1    I mezzi finanziari di cui dispongono un cittadino dell'UE o dell'AELS e i suoi familiari sono considerati sufficienti se superiori alle prestazioni d'assistenza concesse a un richiedente svizzero e se del caso ai suoi familiari, tenuto conto della loro situazione personale conformemente alle direttive CSIAS sull'impostazione e sul calcolo dell'aiuto sociale64.
2    I mezzi finanziari a disposizione di un cittadino dell'UE o dell'AELS avente diritto a una rendita o dei suoi familiari sono considerati sufficienti se superano l'importo che autorizzerebbe un richiedente svizzero e se del caso i suoi familiari a percepire le prestazioni complementari giusta la legge federale del 19 marzo 196565 sulle prestazioni complementari all'assicurazione per la vecchiaia, i superstiti e l'invalidità.
de l'ordonnance fédérale sur l'introduction de la libre circulation des personnes (OLCP, RS 142.203), tel est le cas si ces moyens dépassent les prestations d'assistance qui seraient allouées en vertu des directives "Aide sociale: concepts et normes de calcul" de la Conférence suisse des institutions d'action sociale (CSIAS) à un ressortissant suisse, éventuellement aux membres de sa famille, sur demande de l'intéressé et compte tenu de sa situation personnelle. En d'autres termes, on considère que la condition de l'art. 16 al. 1
SR 142.203 Ordinanza del 22 maggio 2002 concernente la libera circolazione delle persone tra la Svizzera e l'Unione europea e i suoi Stati membri, tra la Svizzera e il Regno Unito e tra gli Stati membri dell'Associazione europea di libero scambio (Ordinanza sulla libera circolazione delle persone, OLCP) - Ordinanza sull'introduzione della libera circolazione delle persone
OLCP Art. 16 Mezzi finanziari - (art. 24 all. I dell'Acc. sulla libera circolazione delle persone e art. 23 all. K della Conv. AELS)
1    I mezzi finanziari di cui dispongono un cittadino dell'UE o dell'AELS e i suoi familiari sono considerati sufficienti se superiori alle prestazioni d'assistenza concesse a un richiedente svizzero e se del caso ai suoi familiari, tenuto conto della loro situazione personale conformemente alle direttive CSIAS sull'impostazione e sul calcolo dell'aiuto sociale64.
2    I mezzi finanziari a disposizione di un cittadino dell'UE o dell'AELS avente diritto a una rendita o dei suoi familiari sono considerati sufficienti se superano l'importo che autorizzerebbe un richiedente svizzero e se del caso i suoi familiari a percepire le prestazioni complementari giusta la legge federale del 19 marzo 196565 sulle prestazioni complementari all'assicurazione per la vecchiaia, i superstiti e l'invalidità.
OLCP est remplie si les moyens financiers d'un citoyen suisse, dans la même situation, lui fermeraient l'accès à l'aide sociale (cf. notamment ATF 135 II 265 consid. 3.3; arrêts du TF 2C_375/2014 consid. 3.2; 2C_470/2014 consid. 3.2; cf. aussi directives et commentaires du SEM concernant l'introduction progressive de la libre circulation des personnes [Directives OLCP], état juillet 2015, chiffre 8.2.3). Il importe peu, pour apprécier la situation économique du requérant, que ce dernier génère lui-même ses moyens financiers ou que ceux-ci lui soient procurés par un tiers (cf. ATF 135 II 265 consid. 3.3; arrêts du TF 2C_375/2014 consid. 3.2; 2C_470/2014 consid. 3.2, et jurisprudence citée). Dans ce contexte, le TF a précisé que cette jurisprudence ne visait pas uniquement les personnes majeures (cf. notamment ATF 139 II 393 consid. 4.2.3; arrêt du TF 2C_470/2014 consid. 3.1 in fine, et jurisprudence citée; voir également, dans le même sens, Gaëtan Blaser, in: Amarelle/Nguyen,[éd.], Code annoté de droit des migrations, vol. III : Accord sur la libre circulation des personnes [ALCP], 2014, p. 82, no20 ad art. 6 ALCP).

6.2.2 Dans un arrêt Zhu et Chendu 19 octobre 2004 auquel se réfère notamment l'ATF 135 II 265, la CJCE s'est demandée si une ressortissante d'un Etat tiers, mère d'une citoyenne de l'Union en bas âge, avait le droit de séjourner avec son enfant sur le territoire de l'Union. La CJCE a jugé que la Directive 90/364/CEE du Conseil du 28 juin 1990 relative au droit de séjour ainsi que l'art. 18 du Traité instituant la Communauté européenne (CE [actuellement art. 21 du Traité sur le fonctionnement de l'Union européenne; TFUE]) conféraient un droit de séjour de durée indéterminée au ressortissant mineur en bas âge d'un Etat membre qui est couvert par une assurance-maladie appropriée et qui est à la charge d'un parent, lui-même ressortissant d'un Etat tiers, dont les ressources sont suffisantes pour que le premier ne devienne pas une charge pour les finances publiques de l'Etat membre d'accueil (arrêt du 19 octobre 2004
C-200/02 Zhu et Chen c. Secretary of State for the Home Department, Recueil de jurisprudence [Rec.] 2004 I-09925, point 41). Ces mêmes dispositions permettaient au parent, quelle que soit sa nationalité, qui a effectivement la garde de cet enfant, de séjourner avec lui dans l'Etat membre d'accueil (arrêt Zhu et Chen précité, point 46 ss.). Dans la mesure où l'enfant dépendait tant affectivement que financièrement de sa mère, un refus d'autorisation de séjour aurait eu pour effet de contraindre l'enfant à quitter le territoire de l'Union et à suivre son parent à l'étranger. Une telle conséquence revenait, selon la CJCE, à "priver (...) de tout effet utile le droit de séjour de l'enfant" (cf. arrêt du TF 2C_606/2013 du 4 avril 2014 consid. 3.4 citant l'arrêt Zhu et Chen précité, point 45). Dans un arrêt du 15 novembre 2010, le TF s'est aligné sur la jurisprudence Zhu et Chen et a admis qu'une ressortissante brésilienne, mère d'un ressortissant portugais, puisse se prévaloir d'un titre de séjour en raison de la nationalité de son fils, à condition de disposer de ressources suffisantes pour elle-même et pour son enfant, ce qui en l'espèce n'avait pas été instruit (arrêt 2C_574/2010 du 15 novembre 2010 consid. 2.2.2). En matière d'ALCP, l'art. 16 al. 2 de cet accord impose aux autorités suisses de tenir compte des arrêts de la CJCE antérieurs à sa signature. Dès lors qu'il est postérieur à la date de signature de l'ALCP, l'arrêt de la CJCE Zhu et Chendu 19 octobre 2004 ne devrait certes pas être pris en considération en vertu de l'art. 16
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 16 Riferimento al diritto comunitario - (1) Per conseguire gli obiettivi definiti dal presente Accordo, le parti contraenti prendono tutte le misure necessarie affinché nelle loro relazioni siano applicati diritti e obblighi equivalenti a quelli contenuti negli atti giuridici della Comunità europea ai quali viene fatto riferimento.
par. 2 ALCP; toutefois, dans le but d'assurer une situation juridique parallèle entre les États membres de la Communauté européenne, d'une part, et entre ceux-ci et la Suisse, d'autre part, ainsi que pour tenir compte de l'évolution de la jurisprudence de l'UE, le TF s'inspire de tels arrêts, pour autant que des motifs sérieux ne s'y opposent pas (cf. ATF 136 II 5 consid. 3.4; 136 II 65 consid. 3.1; arrêts du TF 2C_375/2014 consid. 3.3; 2C_390/2013 du 10 avril 2014 consid. 3.1, et jurisprudence citée; cf. aussi arrêt du TF 6B_196/2012 du 24 janvier 2013 consid. 2.1.3). Par la suite, le Tribunal fédéral a confirmé cette jurisprudence à plusieurs reprises (cf. notamment ATF 139 II 393 consid. 4.2.5; arrêts 2C_375/2014 consid. 3.3; 2C_470/2014 consid. 3.3; 2C_606/2013 consid. 3.2; 2C_253/2012 du 11 janvier 2013 consid. 4; 2C_190/2011 du 23 novembre 2011 consid. 4.2.1; cf. en outre Blaser, in : Amarelle/
Nguyen,op. cit., pp. 82/83, nos20 ss ad art. 6 ALCP). A cet égard, le TF a précisé que l'admission d'un droit dérivé à la libre circulation suppose que la personne qui en dispose à titre originaire ait elle-même fait usage des libertés garanties par l'ALCP (cf. notamment arrêt du TF 2C_862/2013 du 18 juillet 2014 consid. 6.2.3, et arrêts cités).

6.3 En l'espèce, C._______, fils de la recourante, qui réside en Suisse depuis sa naissance (en) 2007, dispose de la citoyenneté d'un Etat membre de l'UE (Italie) et ses ressources pourraient lui être fournies par le parent qui en a la garde, à savoir sa mère. Il convient par conséquent d'examiner si l'intéressée dispose de moyens d'existence suffisants pour assurer son entretien, ainsi que celui de son fils.

Il ressort du courrier du 26 août 2015, ainsi que de ses annexes, que l'intéressée touche des indemnités de l'assurance chômage, une pension alimentaire mensuelle de 1'000.- francs versée par B._______, ainsi que des prestations complémentaires cantonales pour familles de 844.- francs par mois depuis le 1er juillet 2015, celles-ci étant des aides financières destinées aux familles afin d'éviter le recours à l'aide sociale (cf. décomptes de la Caisse cantonale de chômage, récépissés de la pension alimentaire et décision de prestations complémentaires pour familles de la Caisse cantonale vaudoise de compensation AVS du 9 juillet 2015). Dans ces circonstances, il y a lieu de constater que la recourante ne dispose pas pour elle-même et son fils de moyens financiers suffisants qui lui fermeraient l'accès à l'aide sociale. Dans ces conditions, C._______ ne dispose pas de moyens financiers suffisants au sens de l'art. 24
IR 0.142.112.681 Accordo del 21 giugno 1999 tra la Confederazione Svizzera, da una parte, e la Comunità europea ed i suoi Stati membri, dall'altra, sulla libera circolazione delle persone (con allegati, protocolli e atto finale)
ALC Art. 24 Campo d'applicazione territoriale - Il presente Accordo si applica, da un lato, al territorio della Svizzera e, dall'altro, ai territori in cui si applica il trattato che istituisce la Comunità europea, alle condizioni in esso indicate.
par. 1 annexe I ALCP pour prétendre à un droit de séjour propre en vertu de sa citoyenneté européenne. A._______ ne peut dès lors pas déduire un droit à une autorisation de séjour sur la base de l'ALCP. Partant, elle ne peut pas se prévaloir d'un droit dérivé de celui de son fils (cf. arrêt du TF 2C_470/2014 du 29 janvier 2015 consid. 3.4).

7.

7.1 Doit également être examinée la question de savoir si la recourante peut déduire un droit de séjour en Suisse de l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH - norme conventionnelle dont elle se prévaut explicitement - en raison, de son mariage avec B._______, de sa relation avec son compagnon, D._______, et du droit de présence en Suisse de son fils.

7.2

7.2.1 Un étranger peut, selon les circonstances, se prévaloir du droit au respect de sa vie privée et familiale garanti par cette disposition conventionnelle pour empêcher la division de sa famille et s'opposer ainsi à l'ingérence des autorités dans son droit protégé. Toutefois, pour qu'il puisse se réclamer de cette disposition, il doit entretenir une relation étroite, effective et intacte avec une personne de sa famille disposant d'un droit de présence durable en Suisse (cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.1 p. 145; 130 II 281 consid. 3.1 p. 286; arrêt du TF 2C_606/2013 du 4 avril 2014 consid. 4.1). D'après la jurisprudence, les relations familiales qui peuvent fonder, en vertu de l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
par. 1 CEDH, un droit à une autorisation de police des étrangers sont avant tout les rapports entre époux ainsi qu'entre parents et enfants mineurs vivant ensemble (cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.2, 129 II 11 consid. 2, 127 II 60 consid. 1d/aa). L'art. 13 al. 1
SR 101 Costituzione federale della Confederazione Svizzera del 18 aprile 1999
Cost. Art. 13 Protezione della sfera privata - 1 Ognuno ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, della sua abitazione, della sua corrispondenza epistolare nonché delle sue relazioni via posta e telecomunicazioni.
1    Ognuno ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, della sua abitazione, della sua corrispondenza epistolare nonché delle sue relazioni via posta e telecomunicazioni.
2    Ognuno ha diritto d'essere protetto da un impiego abusivo dei suoi dati personali.
de la Constitution fédérale de la Confédération suisse du 18 avril 1999 (Cst., RS 101) garantit la même protection (cf. ATF 129 II 215 consid. 4.2).

Sous réserve de circonstances particulières - soit lorsque le couple entretient depuis longtemps des relations étroites et effectivement vécues et qu'il existe des indices concrets d'un mariage sérieusement voulu et imminent, faisant suite à une relation intense durant depuis longtemps, comme la publication des bans du mariage telle qu'elle était exigée jusqu'à la modification du 26 juin 1998 du CC - les fiancés ou les concubins ne sont pas habilités à invoquer l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH. D'une manière générale, il faut que les relations entre les concubins puissent, par leur nature et leur stabilité, être assimilées à une véritable union conjugale pour pouvoir bénéficier de la protection de l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
par. 1 CEDH. Une cohabitation d'un an et demi n'est, en principe, pas propre à fonder un tel droit (cf. arrêt du Tribunal administratif fédéral C-6584/2008 du 26 juillet 2011, consid. 10.2, et les arrêts cités).

7.2.2 Le droit au respect de la vie privée et familiale garanti par l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
par. 1 CEDH n'est pas absolu. Une ingérence dans l'exercice de ce droit est possible selon l'art. 8
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CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
par. 2 CEDH, pour autant qu'elle soit prévue par la loi et qu'elle constitue une mesure qui, dans une société démocratique, est nécessaire à la sécurité nationale, à la sûreté publique, au bien-être économique du pays, à la défense de l'ordre et à la prévention des infractions pénales, à la protection de la santé ou de la morale, ou à la protection des droits et libertés d'autrui.

7.2.3 L'art. 8
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CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH ne confère pas le droit d'entrer ou de séjourner dans un Etat déterminé ni le droit de choisir le lieu apparemment le plus adéquat pour la vie familiale (ATF 135 I 153 consid. 2.1 p. 154 s.; 130 II 281 consid. 3.1 p. 285 et la jurisprudence citée). Le droit au respect de la vie familiale consacré à l'art. 8
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CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH ne peut être invoqué que si une mesure étatique d'éloignement aboutit à la séparation des membres d'une famille (ATF 135 I précité consid. 2.1 p. 155; cf. aussi ATF 130 II 281 consid. 3.1 p. 286). Il n'y a pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des membres de la famille qu'ils réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8
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CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH n'est pas a priori violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour (ATF 135 I précité consid. 2.1 p. 155; 122 II 289 consid. 3b p. 297). En revanche, si le départ du membre de la famille pouvant rester en Suisse ne peut d'emblée être exigé sans autre, il convient de procéder à la pesée des intérêts prévue par l'art. 8
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CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
par. 2 CEDH (ATF 135 I précité consid. 2.1 p. 155; 134 II 10 consid. 4.1 p. 23). Celle-ci suppose de prendre en compte l'ensemble des circonstances et de mettre en balance l'intérêt privé à l'obtention d'un titre de séjour et l'intérêt public à son refus (ATF 122 II 1 consid. 2 p. 6; 120 Ib 1 consid. 3c p. 5; arrêt du TF 2C_2/2009 du 23 avril 2009 consid. 3.1).

7.2.4 En cas de regroupement familial inversé, la jurisprudence a toujours admis que l'enfant mineur titulaire d'une autorisation d'établissement partage, du point de vue du droit des étrangers, le sort du parent qui en a la garde car, contrairement aux enfants de nationalité suisse, ils n'ont pas un droit de demeurer en Suisse en tant que citoyen (art. 24
SR 101 Costituzione federale della Confederazione Svizzera del 18 aprile 1999
Cost. Art. 24 Libertà di domicilio - 1 Ogni persona di cittadinanza svizzera può stabilirsi in qualsiasi luogo del Paese.
1    Ogni persona di cittadinanza svizzera può stabilirsi in qualsiasi luogo del Paese.
2    Ha il diritto di lasciare la Svizzera e di entrarvi.
et 25
SR 101 Costituzione federale della Confederazione Svizzera del 18 aprile 1999
Cost. Art. 25 Protezione dall'espulsione, dall'estradizione e dal rinvio forzato - 1 Le persone di cittadinanza svizzera non possono essere espulse dal Paese; possono essere estradate a un'autorità estera soltanto se vi acconsentono.
1    Le persone di cittadinanza svizzera non possono essere espulse dal Paese; possono essere estradate a un'autorità estera soltanto se vi acconsentono.
2    I rifugiati non possono essere rinviati né estradati in uno Stato in cui sono perseguitati.
3    Nessuno può essere rinviato in uno Stato in cui rischia la tortura o un altro genere di trattamento o punizione crudele o inumano.
Cst.; ATF 137 I 247 consid. 4.2.3 p. 251). Il n'y a ainsi pas atteinte à la vie familiale lorsque son renvoi est exigible, ce qui est en principe le cas pour un enfant en bas âge ou qui ne se trouve pas à la fin de sa scolarité obligatoire (ATF 135 I 153 consid. 2.1 p. 155; arrêt 2C_467/2012 du 25 janvier 2013 consid. 2.1.4). L'exigibilité du renvoi d'un enfant mineur peut, dans certains cas, suffire à refuser une autorisation de séjour au parent qui en a la garde (arrêt 2C_495/2013 du 28 octobre 2013, consid. 2.4).

Pour déterminer si l'on peut contraindre un enfant bénéficiant d'une autorisation d'établissement en Suisse à suivre le parent dont il dépend à l'étranger, il faut tenir compte non seulement du caractère admissible de son renvoi, mais aussi des motifs d'ordre et de sécurité publics, comme le fait que ce parent est tombé de manière continue et dans une large mesure à la charge de l'assistance publique. Il y a lieu également de prendre en considération l'intérêt de l'enfant, ainsi que l'exige l'art. 3 al. 1
IR 0.107 Convenzione del 20 novembre 1989 sui diritti del fanciullo
CDF Art. 3 - 1. In tutte le decisioni relative ai fanciulli, di competenza sia delle istituzioni pubbliche o private di assistenza sociale, dei tribunali, delle autorità amministrative o degli organi legislativi, l'interesse superiore del fanciullo deve essere una considerazione permanente.
1    In tutte le decisioni relative ai fanciulli, di competenza sia delle istituzioni pubbliche o private di assistenza sociale, dei tribunali, delle autorità amministrative o degli organi legislativi, l'interesse superiore del fanciullo deve essere una considerazione permanente.
2    Gli Stati parti si impegnano ad assicurare al fanciullo la protezione e le cure necessarie al suo benessere, in considerazione dei diritti e dei doveri dei suoi genitori, dei suoi tutori o di altre persone che hanno la sua responsabilità legale, ed a tal fine essi adottano tutti i provvedimenti legislativi ed amministrativi appropriati.
3    Gli Stati parti vigilano affinché il funzionamento delle istituzioni, servizi ed istituti che hanno la responsabilità dei fanciulli e che provvedono alla loro protezione sia conforme alle norme stabilite dalle autorità competenti in particolare nell'ambito della sicurezza e della salute e per quanto riguarda il numero e la competenza del loro personale nonché l'esistenza di un adeguato controllo.
CDE (cf. arrêt du TF 2C_792/2013 du 11 février 2014 consid. 5.1 et la jurisprudence citée).

En ce qui concerne l'intérêt public, il faut retenir que la Suisse mène une politique restrictive en matière de séjour des étrangers, pour assurer un rapport équilibré entre l'effectif de la population suisse et celui de la population étrangère résidante, ainsi que pour améliorer la situation du marché du travail et assurer un équilibre optimal en matière d'emploi. Ces buts sont légitimes au regard de l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
par. 2 CEDH (cf. ATF 137 I 247, consid. 4.1.2 et jurisprudence citée).

S'agissant de l'intérêt privé, il y a notamment lieu d'examiner si l'on peut exiger des membres de la famille titulaires d'un droit de présence assuré en Suisse qu'ils suivent l'étranger dont l'autorisation de séjour est refusée. Pour trancher cette question, l'autorité ne doit pas statuer en fonction des convenances personnelles des intéressés, mais prendre objectivement en considération leur situation personnelle et l'ensemble des circonstances (ATF 122 II I consid. 2; 116 Ib 353 consid. 3b). Lorsque le départ à l'étranger s'avère possible "sans difficultés", le refus d'une autorisation de séjour ne porte en principe pas atteinte à la vie familiale protégée par l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH, puisque celle-ci peut être vécue sans problème à l'étranger; une pesée complète des intérêts devient ainsi superflue (ATF 122 II 289 consid. 3b; arrêt du TF 2A.144/1998 du 7 décembre 1998). Toutefois, la question de l'exigibilité du départ à l'étranger ne peut généralement pas être résolue de manière tranchée, par l'affirmative ou la négative. Lorsque, sans être inexigible, le départ ne va pas sans certaines difficultés, celles-ci doivent être intégrées dans la pesée des intérêts destinée à apprécier la proportionnalité du refus de l'autorisation de séjour requise (arrêt du TF 2A.212/2004 du 10 décembre 2004 consid. 3.1).

Lors de la pesée des intérêts au sens de l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
par. 2 CEDH, le fait que le parent étranger qui cherche à obtenir une autorisation de séjour a adopté un comportement répréhensible est à prendre en compte dans les motifs d'intérêt public pouvant faire échec à l'octroi de l'autorisation requise (arrêt du TF 2A.212/2004 précité consid. 3; cf. aussi, à propos de parents d'enfants suisses, ATF 135 I 143 consid. 4.4 p. 152, 153 consid. 2.2.4 p. 158). Entrent également en ligne de compte les attaches de l'intéressé avec son pays d'origine, son intégration en Suisse, sa situation financière ou le parcours scolaire des enfants. Par ailleurs, quand un parent étranger réclame une autorisation de séjour en invoquant l'autorisation d'établissement dont son enfant bénéficie, la nature particulière de cette autorisation (qui est octroyée à l'enfant avant tout de manière dérivée, en raison non de ses liens avec la Suisse, mais avec son parent établi dans ce pays) doit aussi entrer dans la pesée des intérêts (arrêt du TF 2A.212/2004 précité consid. 3.1 et jurisprudence citée).

7.2.5 Il sera encore rappelé que lorsque le détenteur de l'autorité parentale entend se prévaloir de la relation entre son enfant et son père (lequel a un droit de présence en Suisse) pour obtenir la prolongation de son permis de séjour, il doit exister une relation affective et économique à tout le moins effective entre le parent qui a le droit de visite (ainsi qu'un droit de présence en Suisse) et son enfant (cf. plus sévère, en ce sens qu'il requiert un lien particulièrement étroit, l'arrêt du TF 2C_930/2012 du 10 janvier 2013 consid. 4.4.4).

7.3 En l'espèce, il sied tout d'abord de relever qu'au vu de sa séparation de fait d'avec son époux, séparation effective depuis le mois de juillet ou août 2011 (cf. ci-dessus, let. E, F.a, F.b, I et P), la recourante ne peut à l'évidence pas se prévaloir de son mariage avec un ressortissant de l'Union européenne pour prétendre à l'octroi d'une autorisation de séjour en vertu de l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH.

7.4 En outre, même si, dans son courrier du 26 août 2015, la requérante a affirmé que, bien qu'ayant toujours son adresse principale à Genève, où il travaillait, son compagnon, D._______, venait régulièrement passer quelques jours par semaine chez elle et que leur relation de concubinage était sérieuse, comme le démontrait le fait qu'il était cosignataire du bail à loyer, force est toutefois de constater qu'il n'existe au dossier aucun élément tendant à démontrer que les intéressés auraient entrepris des démarches en vue d'un mariage proche et imminent. La recourante n'est ainsi pas habilitée à se prévaloir de la protection offerte par la disposition précitée en raison des liens qu'elle a noués avec le prénommé, dont on ignore du reste la nationalité et le statut en Suisse. Au vu de ce qui précède, il n'est cependant pas nécessaire d'instruire ce point.

7.5 Par ailleurs, il s'impose de constater que la durée du séjour en Suisse de la recourante doit être relativisée, dès lors qu'entrée dans ce pays en décembre 2004, sa demande d'asile a été définitivement rejetée en 2006 et qu'elle a ensuite vécu dans la clandestinité jusqu'à son mariage en juillet 2008, obtenant ainsi une autorisation de séjour CE/AELE, régulièrement renouvelée jusqu'au 2 juillet 2013. Depuis lors, elle continue à séjourner dans le canton de Vaud dans le cadre de l'examen du renouvellement de son autorisation de séjour par les autorités cantonales et fédérales.

L'intéressée a en outre touché des prestations du Centre Social Régional Broye-Vully (CSR) du 1er août 2011 au 30 septembre 2012 pour un montant total d'un peu moins de 18'400.- francs (cf. attestation de fin de droit du CSR datée du 20 févier 2013 et formulaire rempli, le 6 juin 2013, par ce centre). En outre, la requérante n'a travaillé que très sporadiquement durant son séjour sur territoire helvétique. En effet, dans ses déterminations du 31 mai 2012, elle a expliqué qu'avant sa séparation, elle avait tenté de créer sa propre entreprise de coiffure (cf. attestation d'inscription au registre des entreprises établie, le 31 janvier 2011, par la commune de Payerne), qu'elle l'avait ensuite abandonnée, qu'elle s'était inscrite au chômage, qu'elle avait pu bénéficier d'une mesure de trois mois comme lingère auprès d'une association (cf. certificat du 19 mars 2012) et que c'était désormais avec l'aide du service social qu'elle poursuivait ses efforts pour trouver un emploi. Dans son courrier adressé au SPOP le 16 octobre 2012, le CSR a indiqué que, la recourante était au bénéfice d'un complément financier de l'aide sociale depuis le 1er septembre 2011, qu'elle avait commencé, le 4 juin 2012, la mesure RI Connexions Ressources, qu'elle avait reçu de l'aide pour définir son projet professionnel, qu'elle avait eu la possibilité d'effectuer des stages, que, suite à un stage dans un établissement médico-social, elle avait pu obtenir un contrat de travail à 60% pour la période du 1er octobre 2012 jusqu'au 31 juillet 2013 (cf. contrat de travail établi le 28 septembre 2012) et que son RI s'élevait à un peu moins de 1750.- francs par mois. Dans son courrier du 26 août 2015, l'intéressée a exposé qu'elle avait travaillé du 1er octobre 2012 au 31 juillet 2013 pour un établissement médico-social, qu'elle avait prévu de se mettre à son compte dans la coiffure, que son stock de marchandises était cependant partie en fumée lors d'un incendie qui avait ravagé son appartement, que son projet n'avait ainsi pas pu aboutir, qu'elle avait trouvé un nouvel employeur dans le domaine de la prise en charge des personnes âgées du 14 avril 2014 au 31 mars 2015, qu'elle avait alors un contrat très précaire avec des horaires flexibles sur appel, qu'elle avait ainsi préféré démissionner dans l'espoir de reprendre les cours de la Croix-Rouge, dont elle avait raté les examens juste après ledit incendie, plutôt que de tomber en dépression, et qu'elle s'était inscrite au chômage en avril 2015 dans cet objectif (cf. décomptes de chômage), mais que la Croix-Rouge semblait refuser de l'inscrire au cours tant que son autorisation de séjour n'était pas renouvelée définitivement. Elle a encore précisé qu'entre ses indemnités de chômage pour
un montant de 1'800.- francs, les prestations complémentaires pour familles de 844.- francs et la pension alimentaire de 1'000.- francs que lui versait B._______ pour leur fils, elle cumulait des revenus à hauteur de 3'645.- francs par mois.

Au demeurant, l'examen du dossier ne laisse nullement apparaître que, malgré la durée de son séjour dans ce pays, la recourante se serait créé des attaches étroites et durables avec son environnement social, aucune pièce ne venant démontrer qu'elle aurait, par exemple, noué des contacts avec la population suisse dans le cadre, notamment, de sociétés locales.

Sur un autre plan, il appert que l'intéressée a grandi au Bénin et qu'elle y a vécu la période décisive de son adolescence et les premières années de sa vie d'adulte, années qui apparaissent comme essentielles pour la formation de la personnalité et, partant, pour l'intégration sociale et culturelle (voir à ce sujet ATAF 2007/45 consid. 7.6 et la jurisprudence citée). De plus, selon ses propres affirmations, elle a de la parenté dans son pays d'origine, à savoir notamment sa mère, une demi-soeur et un demi-frère (cf. courrier du 26 août 2015). Lors de son audition du 13 décembre 2011 auprès de la police cantonale vaudoise, elle a d'ailleurs indiqué qu'hormis son époux et son fils, elle n'avait personne en Suisse et que toute sa famille était restée au Bénin, de sorte qu'elle a encore d'incontestables attaches familiales dans sa patrie. Or, ces attaches importantes ne sont pas contrebalancées par les années passées en Suisse.

Enfin, la recourante n'est pas parvenue à démontrer que les violences conjugales dont elle accuse son époux ont été la cause de la rupture de leur union. En outre, il s'impose de souligner que le Tribunal ne dispose pas d'éléments suffisants à même de démontrer la réalité des violences que la recourante aurait subies. Certes, dans son courrier adressé au SPOP le 16 mai 2012, le CSR a indiqué que B._______ avait fait subir une violence psychologique à son épouse, que cette dernière avait demandé de l'aide auprès du Centre d'accueil Malley Prairie, mais que celui-ci n'y avait pas donné suite, dans la mesure où elle n'avait pas été victime de violence physique, et que l'intéressée suivait une psychothérapie. Toutefois, le dossier ne contient aucune preuve telle qu'une plainte pénale, un rapport de police, des rapports et appréciations d'organismes spécialisés, ni aucun rapport médical, alors que, dans son recours du 31 juillet 2013, A._______ avait pourtant affirmé qu'elle fournirait un rapport médical dès qu'il serait en sa possession. Au demeurant, il ne ressort pas du dossier que la requérante aurait pris contact avec des institutions spécialisées pour les victimes de violences conjugales. Le seul élément figurant au dossier est une lettre de soutien datée du 1ermai 2012, dans laquelle une amie proche de la prénommée a déclaré avoir été témoin d'agressions verbales et morales de la part de B._______ envers la requérante. Par surabondance, le Tribunal observe que cette dernière a soutenu qu'au mois de mars 2011, elle avait prévu d'aller visiter une amie de passage en France, que son époux s'y était opposé et l'avait enfermée dans leur chambre et qu'elle avait alors décidé de se séparer de lui (cf. notamment déterminations du 31 mai 2012). Or, il sied tout au plus de relever que, le 28 janvier 2011, elle avait déjà requis des mesures protectrices de l'union conjugale, afin que les époux soient autorisés à vivre séparés.

Au vu de ces constatations, force est d'admettre que la recourante ne peut faire valoir aucune circonstance personnelle qui s'opposerait à son renvoi. Il s'agit dès lors seulement de savoir si le départ de son fils, titulaire d'une autorisation d'établissement, est également exigible et si le droit de visite de B._______ sur leur fils justifie le maintien de sa présence en Suisse (ATF 137 I 247, consid. 4.2.3, arrêt 2C_792/2013 précité consid. 5.2 et la jurisprudence citée).

7.6 Sur le plan de l'exigibilité du renvoi de C._______, le Tribunal observe que celui-ci, âgé de huit ans et demi et de nationalité italienne, est né en Suisse où il a grandi jusqu'à ce jour et ne connaît pas le pays dont sa mère est originaire. Il a commencé sa cinquième année scolaire et est un bon élève (cf. bulletins scolaires produits le 26 août 2015). Il est également inscrit dans un club de football.De par son âge, il reste très attaché à sa mère qui en a la garde et susceptible de s'adapter à un nouvel environnement. Il doit être relevé à ce propos que les conditions de vie au Bénin sont moins favorables que celles qu'il pourrait trouver en Europe ou en Suisse.

Par ailleurs, B._______ a reconnu son fils, C._______, (...) après sa naissance, soit le 1er juin 2007, date à laquelle il a également entrepris les formalités en vue de son mariage avec la recourante (cf. confirmation d'une reconnaissance après la naissance établie, le 1erjuin 2007, par le Service de l'état civil d'Yverdon-les-Bains et attestation de formalités de mariage rédigée, le 10 octobre 2007, par la Direction de l'état civil du canton de Vaud). Les prénommés ont vécu ensemble quotidiennement jusqu'à la séparation du couple, soit jusqu'au mois de juillet, voire août 2011. Par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 28 juin 2011, le Tribunal d'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a attribué à B._______ un libre et large droit de visite sur son fils, à exercer d'entente avec la recourante et l'a astreint à contribuer à l'entretien de son épouse et de leur fils par le versement d'une pension mensuelle de 2'500.- francs, allocations familiales en plus. A défaut d'entente, B._______ peut avoir son fils auprès de lui un week-end sur deux du vendredi à 18 heures au dimanche à 18 heures, un soir par semaine de 18 heures au lendemain matin, alternativement à Pâques ou Pentecôte, Noël ou Nouvel an et la moitié des vacances scolaires. Lors de l'audience du 10 avril 2012 devant le Tribunal d'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois, les conjoints ont convenu que le prénommé contribuerait à l'entretien des siens par le versement d'une pension mensuelle de 1'000.- francs, allocations familiales en plus, et que le chiffre I du dispositif de l'ordonnance précitée était maintenue. Le président a ratifié séance tenante cette convention pour valoir ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale.

A cet égard, dans son écrit daté du 19 février 2013, B._______ a expliqué qu'étant retraité, il s'occupait régulièrement de son fils lorsqu'A._______ travaillait, qu'il le préparait pour l'école et qu'il parlait et faisait des promenades avec lui. Dans ses observations du 18 mars 2013, l'intéressée a souligné que son fils voyait son père plusieurs fois par semaine, que ce dernier le gardait régulièrement lorsqu'elle travaillait et que C._______ entretenait donc des liens très étroits avec son père, tout en vivant avec sa mère. Par courrier du 15 juillet 2013 adressé à l'ODM, B._______ a réitéré qu'il gardait son fils plusieurs fois par semaine en particulier lorsque la requérante travaillait et qu'ils avaient, depuis sa naissance, des contacts presque quotidiens "grâce à l'organisation de la garde partagée". Dans son recours du 31 juillet 2013, la requérante a confirmé que B._______ voyait leur fils très régulièrement plusieurs fois par semaine, qu'il le gardait pendant qu'elle travaillait, qu'il entretenait avec lui une vraie relation paternelle profonde et essentielle à son épanouissement et qu'un éventuel départ entraînerait certainement une rupture du lien paternel existant.

Aussi, même si la recourante a exposé, dans son courrier du 26 août 2015, qu'elle n'avait finalement pas souhaité partager formellement la garde de son fils avec son époux, dans la mesure où ils avaient une vision très différente de l'éducation, il n'en demeure pas moins que les contacts personnels entre B._______ et son fils sont effectivement exercés dans le cadre d'un large droit de visite qui va au-delà d'un droit de visite usuel selon les standards d'aujourd'hui (en Suisse romande, il s'agit d'un droit de visite d'un week-end toutes les deux semaines et durant la moitié des vacances). De plus, lors de leurs auditions respectives des 13 décembre 2011 et 19 janvier 2012 auprès de la police cantonale vaudoise, les époux ont déclaré que B._______ versait mensuellement une contribution d'entretien de 2'500.- francs (cf. procès-verbaux desdites auditions) et, dans son recours du 31 juillet 2013 et son courrier du 26 août 2015, la recourante a indiqué que le prénommé lui versait une pension alimentaire de 1'000.- francs par mois (cf. également l'attestation rédigée, le 19 février 2013, par B._______ et cosignée par la requérante). Pour confirmer ses dires, elle a fourni copie de plusieurs récépissés. Dans ces circonstances, il y a lieu de constater qu'il existe un lien affectif et économique particulièrement fort entre C._______ et son père.

7.7 Il s'ensuit qu'un renvoi de C._______ dans le pays d'origine de sa mère constituerait un déracinement entraînant de lourdes conséquences sur son équilibre psychique. Il résulte de ce qui précède que l'intérêt privé du prénommé à demeurer sur le territoire helvétique ne saurait l'emporter sur l'intérêt public de la Suisse à appliquer une politique destinée à lutter contre la surpopulation étrangère et à conserver l'équilibre du marché du travail. Par conséquent, tout bien considéré, la recourante peut tirer un droit à la prolongation de son autorisation de séjour sur la base de l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
CEDH.

8.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être admis, la décision attaquée du 2 juillet 2013 annulée et l'octroi par le SPOP de l'autorisation de séjour sollicitée approuvé au sens des considérants formulés ci-avant. Partant, il est superflu d'examiner si A._______ est en mesure de revendiquer l'application en sa faveur de l'art. 50 al. 1 let. a
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
et let. b LEtr, en lien avec l'art. 50 al. 2
SR 142.20 Legge federale del 16 dicembre 2005 sugli stranieri e la loro integrazione (LStrI)
LStrI Art. 50 Scioglimento della comunità familiare - 1 Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
1    Dopo lo scioglimento del matrimonio o della comunità familiare, il diritto del coniuge e dei figli al rilascio e alla proroga del permesso di dimora in virtù degli articoli 42 e 43 sussiste se:
a  l'unione coniugale è durata almeno tre anni e sono soddisfatti i criteri d'integrazione di cui all'articolo 58a; o
b  gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera.
2    Può segnatamente essere un grave motivo personale secondo il capoverso 1 lettera b il fatto che il coniuge è stato vittima di violenza nel matrimonio, che il matrimonio contratto non è espressione della libera volontà di uno degli sposi o che la reintegrazione sociale nel Paese d'origine risulta fortemente compromessa.76
3    Il termine per il rilascio del permesso di domicilio è retto dall'articolo 34.
LEtr.

9.
Obtenant gain de cause, la recourante n'a pas à supporter de frais de procédure (cf. art. 63 al. 1 a
SR 172.021 Legge federale del 20 dicembre 1968 sulla procedura amministrativa (PA)
PA Art. 63 - 1 L'autorità di ricorso mette nel dispositivo le spese processuali, consistenti in una tassa di decisione nelle tasse di cancelleria e negli sborsi, di regola a carico della parte soccombente. Se questa soccombe solo parzialmente, le spese processuali sono ridotte. Per eccezione, si possono condonare le spese processuali.
1    L'autorità di ricorso mette nel dispositivo le spese processuali, consistenti in una tassa di decisione nelle tasse di cancelleria e negli sborsi, di regola a carico della parte soccombente. Se questa soccombe solo parzialmente, le spese processuali sono ridotte. Per eccezione, si possono condonare le spese processuali.
2    Nessuna spesa processuale è messa a carico dell'autorità inferiore ne delle autorità federali, che promuovano il ricorso e soccombano; se l'autorità ricorrente, che soccombe, non è un'autorità federale, le spese processuali le sono addossate in quanto la causa concerna interessi pecuniari di enti o d'istituti autonomi.
3    Alla parte vincente possono essere addossate solo le spese processuali che abbia cagionato violando le regole di procedura.
4    L'autorità di ricorso, il suo presidente o il giudice dell'istruzione esige dal ricorrente un anticipo equivalente alle presunte spese processuali. Stabilisce un congruo termine per il pagamento con la comminatoria che altrimenti non entrerà nel merito. Se sussistono motivi particolari, può rinunciare interamente o in parte a esigere l'anticipo.100
4bis    La tassa di decisione è stabilita in funzione dell'ampiezza e della difficoltà della causa, del modo di condotta processuale e della situazione finanziaria delle parti. Il suo importo oscilla:
a  da 100 a 5000 franchi nelle controversie senza interesse pecuniario;
b  da 100 a 50 000 franchi nelle altre controversie.101
5    Il Consiglio federale disciplina i dettagli relativi alla determinazione delle tasse.102 Sono fatti salvi l'articolo 16 capoverso 1 lettera a della legge del 17 giugno 2005103 sul Tribunale amministrativo federale e l'articolo 73 della legge del 19 marzo 2010104 sull'organizzazione delle autorità penali.105
contrario et al. 3 PA).

Aucun frais n'est mis à la charge de l'autorité inférieure déboutée (cf. art. 63 al. 2
SR 172.021 Legge federale del 20 dicembre 1968 sulla procedura amministrativa (PA)
PA Art. 63 - 1 L'autorità di ricorso mette nel dispositivo le spese processuali, consistenti in una tassa di decisione nelle tasse di cancelleria e negli sborsi, di regola a carico della parte soccombente. Se questa soccombe solo parzialmente, le spese processuali sono ridotte. Per eccezione, si possono condonare le spese processuali.
1    L'autorità di ricorso mette nel dispositivo le spese processuali, consistenti in una tassa di decisione nelle tasse di cancelleria e negli sborsi, di regola a carico della parte soccombente. Se questa soccombe solo parzialmente, le spese processuali sono ridotte. Per eccezione, si possono condonare le spese processuali.
2    Nessuna spesa processuale è messa a carico dell'autorità inferiore ne delle autorità federali, che promuovano il ricorso e soccombano; se l'autorità ricorrente, che soccombe, non è un'autorità federale, le spese processuali le sono addossate in quanto la causa concerna interessi pecuniari di enti o d'istituti autonomi.
3    Alla parte vincente possono essere addossate solo le spese processuali che abbia cagionato violando le regole di procedura.
4    L'autorità di ricorso, il suo presidente o il giudice dell'istruzione esige dal ricorrente un anticipo equivalente alle presunte spese processuali. Stabilisce un congruo termine per il pagamento con la comminatoria che altrimenti non entrerà nel merito. Se sussistono motivi particolari, può rinunciare interamente o in parte a esigere l'anticipo.100
4bis    La tassa di decisione è stabilita in funzione dell'ampiezza e della difficoltà della causa, del modo di condotta processuale e della situazione finanziaria delle parti. Il suo importo oscilla:
a  da 100 a 5000 franchi nelle controversie senza interesse pecuniario;
b  da 100 a 50 000 franchi nelle altre controversie.101
5    Il Consiglio federale disciplina i dettagli relativi alla determinazione delle tasse.102 Sono fatti salvi l'articolo 16 capoverso 1 lettera a della legge del 17 giugno 2005103 sul Tribunale amministrativo federale e l'articolo 73 della legge del 19 marzo 2010104 sull'organizzazione delle autorità penali.105
PA).

En outre, la recourante a droit à des dépens (art. 64 al. 1
SR 172.021 Legge federale del 20 dicembre 1968 sulla procedura amministrativa (PA)
PA Art. 64 - 1 L'autorità di ricorso, se ammette il ricorso in tutto o in parte, può, d'ufficio o a domanda, assegnare al ricorrente una indennità per le spese indispensabili e relativamente elevate che ha sopportato.
1    L'autorità di ricorso, se ammette il ricorso in tutto o in parte, può, d'ufficio o a domanda, assegnare al ricorrente una indennità per le spese indispensabili e relativamente elevate che ha sopportato.
2    Il dispositivo indica l'ammontare dell'indennità e l'addossa all'ente o all'istituto autonomo, nel cui nome l'autorità inferiore ha deciso, in quanto non possa essere messa a carico di una controparte soccombente.
3    Se una controparte soccombente ha presentato conclusioni indipendenti, l'indennità può essere messa a suo carico, secondo la propria solvenza.
4    L'ente o l'istituto autonomo, nel cui nome l'autorità inferiore ha deciso, risponde dell'indennità addossata a una controparte soccombente, in quanto non possa essere riscossa.
5    Il Consiglio federale disciplina la determinazione delle spese ripetibili.106 Sono fatti salvi l'articolo 16 capoverso 1 lettera a della legge del 17 giugno 2005107 sul Tribunale amministrativo federale e l'articolo 73 della legge del 19 marzo 2010108 sull'organizzazione delle autorità penali.109
PA en relation avec l'art. 7
SR 173.320.2 Regolamento del 21 febbraio 2008 sulle tasse e sulle spese ripetibili nelle cause dinanzi al Tribunale amministrativo federale (TS-TAF)
TS-TAF Art. 7 Principio - 1 La parte vincente ha diritto alle ripetibili per le spese necessarie derivanti dalla causa.
1    La parte vincente ha diritto alle ripetibili per le spese necessarie derivanti dalla causa.
2    Se la parte vince solo parzialmente, le spese ripetibili sono ridotte in proporzione.
3    Le autorità federali e, di regola, le altre autorità con qualità di parte non hanno diritto a un'indennità a titolo di ripetibili.
4    Se le spese sono relativamente modeste, si può rinunciare a concedere alla parte un'indennità a titolo di ripetibili.
5    L'articolo 6a è applicabile per analogia.7
du règlement du 21 février 2008 concernant les frais, dépens et indemnités fixés par le Tribunal administratif fédéral [FITAF, RS 173.320.2]). En l'absence de décompte de prestations, le Tribunal fixe l'indemnité sur la base du dossier (cf. art. 14 al. 2
SR 173.320.2 Regolamento del 21 febbraio 2008 sulle tasse e sulle spese ripetibili nelle cause dinanzi al Tribunale amministrativo federale (TS-TAF)
TS-TAF Art. 14 Determinazione delle spese ripetibili - 1 Le parti che chiedono la rifusione di ripetibili e gli avvocati d'ufficio devono presentare al Tribunale, prima della pronuncia della decisione, una nota particolareggiata delle spese.
1    Le parti che chiedono la rifusione di ripetibili e gli avvocati d'ufficio devono presentare al Tribunale, prima della pronuncia della decisione, una nota particolareggiata delle spese.
2    Il Tribunale fissa l'indennità dovuta alla parte e quella dovuta agli avvocati d'ufficio sulla base della nota particolareggiata delle spese. Se quest'ultima non è stata inoltrata, il Tribunale fissa l'indennità sulla base degli atti di causa.
FITAF). Au vu de l'ensemble des circonstances du cas, de l'importance de l'affaire, du degré de difficulté de cette dernière et de l'ampleur du travail accompli par la mandataire de la recourante, le Tribunal estime, au regard des art. 8 ss
SR 173.320.2 Regolamento del 21 febbraio 2008 sulle tasse e sulle spese ripetibili nelle cause dinanzi al Tribunale amministrativo federale (TS-TAF)
TS-TAF Art. 8 Spese ripetibili - 1 Le ripetibili comprendono le spese di rappresentanza o di patrocinio ed eventuali altri disborsi di parte.
1    Le ripetibili comprendono le spese di rappresentanza o di patrocinio ed eventuali altri disborsi di parte.
2    Per spese non necessarie non vengono corrisposte indennità.
FITAF, que le versement d'un montant de 1'300 francs à titre de dépens (TVA comprise) apparaît comme équitable en la présente cause.

(dispositif à la page suivante)

Par ces motifs, le Tribunal administratif fédéral prononce :

1.
Le recours est admis, dans la mesure où il est recevable, et la décision de l'ODM du 2 juillet 2013 est annulée.

2.
La délivrance d'une autorisation de séjour en faveur d'A._______ (en application de l'art. 8
IR 0.101 Convenzione del 4 novembre 1950 per la salvaguardia dei diritti dell'uomo e delle libertà fondamentali (CEDU)
CEDU Art. 8 Diritto al rispetto della vita privata e familiare - 1. Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
1    Ogni persona ha diritto al rispetto della sua vita privata e familiare, del suo domicilio e della sua corrispondenza.
2    Non può esservi ingerenza della pubblica autorità nell'esercizio di tale diritto se non in quanto tale ingerenza sia prevista dalla legge e in quanto costituisca una misura che, in una società democratica, è necessaria per la sicurezza nazionale, l'ordine pubblico, il benessere economico del paese, la prevenzione dei reati, la protezione della salute o della morale, o la protezione dei diritti e delle libertà altrui.
par. 1 CEDH), est approuvée.

3.
Il n'est pas perçu de frais de procédure. L'avance de 1'000.- francs versée le 5 septembre 2013 sera restituée à la recourante par la caisse du Tribunal.

4.
L'autorité inférieure versera à la recourante un montant de 1'300 francs à titre de dépens.

5.
Le présent arrêt est adressé :

- aux recourants (Acte judiciaire; annexe: un formulaire "adresse de paiement" à retourner dûment rempli au Tribunal)

- à l'autorité inférieure, avec dossiers en retour

- en copie, au Service de la population du canton de Vaud (Division Etrangers), pour information,avec dossier cantonal en retour

- en copie, Amt für Migration des Kantons Luzern, pour information, avec dossier cantonal en retour

L'indication des voies de droit se trouve à la page suivante.

La présidente du collège : La greffière :

Marie-Chantal May Canellas Sophie Vigliante Romeo

Indication des voies de droit :

Le présent arrêt peut être attaqué devant le Tribunal fédéral, 1000 Lausanne 14, par la voie du recours en matière de droit public, dans les trente jours qui suivent la notification (art. 82 ss
SR 173.110 Legge del 17 giugno 2005 sul Tribunale federale (LTF) - Organizzazione giudiziaria
LTF Art. 82 Principio - Il Tribunale federale giudica i ricorsi:
a  contro le decisioni pronunciate in cause di diritto pubblico;
b  contro gli atti normativi cantonali;
c  concernenti il diritto di voto dei cittadini nonché le elezioni e votazioni popolari.
, 90
SR 173.110 Legge del 17 giugno 2005 sul Tribunale federale (LTF) - Organizzazione giudiziaria
LTF Art. 90 Decisioni finali - Il ricorso è ammissibile contro le decisioni che pongono fine al procedimento.
ss et 100 LTF). Le mémoire doit être rédigé dans une langue officielle, indiquer les conclusions, les motifs et les moyens de preuve, et être signé. L'arrêt attaqué et les moyens de preuve doivent être joints au mémoire, pour autant qu'ils soient en mains du recourant (art. 42
SR 173.110 Legge del 17 giugno 2005 sul Tribunale federale (LTF) - Organizzazione giudiziaria
LTF Art. 42 Atti scritti - 1 Gli atti scritti devono essere redatti in una lingua ufficiale, contenere le conclusioni, i motivi e l'indicazione dei mezzi di prova ed essere firmati.
1    Gli atti scritti devono essere redatti in una lingua ufficiale, contenere le conclusioni, i motivi e l'indicazione dei mezzi di prova ed essere firmati.
2    Nei motivi occorre spiegare in modo conciso perché l'atto impugnato viola il diritto. Qualora il ricorso sia ammissibile soltanto se concerne una questione di diritto di importanza fondamentale o un caso particolarmente importante per altri motivi, occorre spiegare perché la causa adempie siffatta condizione.14 15
3    Se sono in possesso della parte, i documenti indicati come mezzi di prova devono essere allegati; se l'atto scritto è diretto contro una decisione, anche questa deve essere allegata.
4    In caso di trasmissione per via elettronica, la parte o il suo patrocinatore deve munire l'atto scritto di una firma elettronica qualificata secondo la legge del 18 marzo 201616 sulla firma elettronica. Il Tribunale federale determina mediante regolamento:
a  il formato dell'atto scritto e dei relativi allegati;
b  le modalità di trasmissione;
c  le condizioni alle quali può essere richiesta la trasmissione successiva di documenti cartacei in caso di problemi tecnici.17
5    Se mancano la firma della parte o del suo patrocinatore, la procura dello stesso o gli allegati prescritti, o se il patrocinatore non è autorizzato in quanto tale, è fissato un congruo termine per sanare il vizio, con la comminatoria che altrimenti l'atto scritto non sarà preso in considerazione.
6    Gli atti illeggibili, sconvenienti, incomprensibili, prolissi o non redatti in una lingua ufficiale possono essere del pari rinviati al loro autore affinché li modifichi.
7    Gli atti scritti dovuti a condotta processuale da querulomane o altrimenti abusiva sono inammissibili.
LTF).

Expédition :