Bundesgericht
Tribunal fédéral
Tribunale federale
Tribunal federal

{T 0/2}
9C 327/2011

Arrêt du 21 février 2012
IIe Cour de droit social

Composition
MM. les Juges U. Meyer, Président, Kernen et Boinay, Juge suppléant.
Greffier: M. Wagner.

Participants à la procédure
A.________,
représenté par les Syndicats Chrétiens interprofessionnels du Valais,
recourant,

contre

Institution de prévoyance X.________,
intimée.

Objet
Prévoyance professionnelle,

recours contre le jugement du Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, du 23 mars 2011.

Faits:

A.
A.________, né en 1958, a été engagé dès le 1er septembre 1989 en qualité de machiniste par l'Entreprise X.________, à M.________. A ce titre, il a été affilié à partir de ce moment-là auprès de "l'Institution de prévoyance en faveur du personnel de l'entreprise X.________". Depuis le 17 novembre 2000, il a été à l'arrêt de travail pour des raisons de santé, ce qui a donné lieu à l'annonce d'un cas d'incapacité de gain à Y.________ SA, laquelle s'occupe de la gestion administrative de l'institution de prévoyance. Les rapports de travail avec l'employeur ont pris fin le 31 août 2001.
Dans un préavis du 13 février 2007, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du Valais (ci-après : l'office AI), se fondant - à la suite d'un arrêt de renvoi du Tribunal fédéral des assurances du 16 mars 2006 (I 494/04) - sur une expertise de la Clinique Z.________ du 13 novembre 2006, a admis que A.________ présentait une incapacité de travail de 100 % dans toute activité depuis le 15 avril 2002, date de son hospitalisation à V.________, et qu'il avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 1er avril 2003. Par décisions des 11 juillet et 19 septembre 2007, il lui a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er avril 2003.
A la suite du préavis de rente de l'office AI du 13 février 2007, A.________ a invité Y.________ SA à faire le nécessaire afin qu'il puisse bénéficier d'une rente LPP de l'institution de prévoyance. Par lettre du 31 août 2007, Y.________ SA a nié que l'Institution de prévoyance en faveur du personnel de l'entreprise X.________ soit tenue à prestations attendu que A.________ ne lui était plus affilié lors de la survenance de l'incapacité de travail de 100 % le 15 avril 2002. Par lettre du 23 novembre 2007, celui-ci a maintenu sa demande de rente LPP, étant donné l'étroite relation de connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail qui avait été la sienne depuis le 17 novembre 2000 et son invalidité. Sa requête a été transmise par Y.________ SA à la Compagnie d'assurances W.________, qui l'a rejetée par lettre du 24 juin 2008 au motif que A.________ n'avait présenté jusqu'au 15 avril 2002 aucune atteinte à la santé susceptible de diminuer sa capacité de travail et de gain comme machiniste ou dans n'importe quelle autre activité lucrative.
Le 11 juillet 2008, A.________ a ouvert action contre l'« Institution de prévoyance X.________ à M.________, par la Compagnie d'Assurances W.________ » devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal valaisan, en demandant que « l'Institution de prévoyance X.________ » soit tenue de lui verser une rente LPP d'invalidité, avec intérêts moratoires.
La Compagnie d'Assurances W.________, ayant informé l'autorité de jugement qu'elle ne représentait pas l'Institution de prévoyance en faveur du personnel de l'entreprise X.________, la procédure a été continuée contre celle-ci dont la capacité pour défendre a été admise.
Par jugement du 25 septembre 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté l'action.
Saisi d'un recours en matière de droit public contre ce jugement, le Tribunal fédéral l'a admis et a renvoyé la cause à l'autorité judiciaire de première instance pour des motifs procéduraux.

B.
Après avoir complété le dossier, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal valaisan a rejeté l'action de A.________ par jugement du 23 mars 2011.

C.
A.________ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en demandant son annulation. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que son droit à une rente d'invalidité LPP, avec intérêts moratoires, soit reconnu.

Considérant en droit:

1.
1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss
SR 173.110 Loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF) - Organisation judiciaire
LTF Art. 82 Principe - Le Tribunal fédéral connaît des recours:
a  contre les décisions rendues dans des causes de droit public;
b  contre les actes normatifs cantonaux;
c  qui concernent le droit de vote des citoyens ainsi que les élections et votations populaires.
LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95
SR 173.110 Loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF) - Organisation judiciaire
LTF Art. 95 Droit suisse - Le recours peut être formé pour violation:
a  du droit fédéral;
b  du droit international;
c  de droits constitutionnels cantonaux;
d  de dispositions cantonales sur le droit de vote des citoyens ainsi que sur les élections et votations populaires;
e  du droit intercantonal.
et 96
SR 173.110 Loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF) - Organisation judiciaire
LTF Art. 96 Droit étranger - Le recours peut être formé pour:
a  inapplication du droit étranger désigné par le droit international privé suisse;
b  application erronée du droit étranger désigné par le droit international privé suisse, pour autant qu'il s'agisse d'une affaire non pécuniaire.
LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1
SR 173.110 Loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF) - Organisation judiciaire
LTF Art. 106 Application du droit - 1 Le Tribunal fédéral applique le droit d'office.
1    Le Tribunal fédéral applique le droit d'office.
2    Il n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant.
LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140).

1.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1
SR 173.110 Loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF) - Organisation judiciaire
LTF Art. 105 Faits déterminants - 1 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente.
1    Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente.
2    Il peut rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95.
3    Lorsque la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente.99
LTF). Il peut cependant rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95
SR 173.110 Loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF) - Organisation judiciaire
LTF Art. 95 Droit suisse - Le recours peut être formé pour violation:
a  du droit fédéral;
b  du droit international;
c  de droits constitutionnels cantonaux;
d  de dispositions cantonales sur le droit de vote des citoyens ainsi que sur les élections et votations populaires;
e  du droit intercantonal.
LTF (art. 105 al. 2
SR 173.110 Loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF) - Organisation judiciaire
LTF Art. 105 Faits déterminants - 1 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente.
1    Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente.
2    Il peut rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95.
3    Lorsque la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente.99
LTF).

2.
Est litigieuse la question de savoir quand a débuté l'incapacité de travail qui est à l'origine de l'invalidité du recourant.

3.
3.1 L'art. 23
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 23 Droit aux prestations - Ont droit à des prestations d'invalidité les personnes qui:
a  sont invalides à raison de 40 % au moins au sens de l'AI, et qui étaient assurées lorsqu'est survenue l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité;
b  à la suite d'une infirmité congénitale, étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins;
c  étant devenues invalides avant leur majorité (art. 8, al. 2, LPGA68), étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins.
LPP (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2004, applicable ratione temporis [ATF 131 V 9 consid. 1 p. 11 et les arrêts cités]), disposait qu'ont droit à des prestations d'invalidité les personnes qui sont invalides à raison de 50 % au moins au sens de l'AI, et qui étaient assurées lorsqu'est survenue l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité.
Les art. 3 ch. 11 et 12 ch. 2 du Règlement de prévoyance de l'Institution de prévoyance en faveur du personnel de l'entreprise X.________, renvoient pour l'incapacité de gain à la décision de l'assurance-invalidité et étendent par ailleurs le cercle des bénéficiaires de pensions d'invalidité aux assurés qui sont invalides à raison de 25 % au moins au sens de l'assurance-invalidité.

3.2 L'assurance obligatoire commence en même temps que les rapports de travail (art. 10 al. 1
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 10 Début et fin de l'assurance obligatoire - 1 L'assurance obligatoire commence en même temps que les rapports de travail; pour les bénéficiaires d'indemnités journalières de l'assurance-chômage, elle commence le jour où ils perçoivent pour la première fois une indemnité de chômage.22
1    L'assurance obligatoire commence en même temps que les rapports de travail; pour les bénéficiaires d'indemnités journalières de l'assurance-chômage, elle commence le jour où ils perçoivent pour la première fois une indemnité de chômage.22
2    L'obligation d'être assuré cesse, sous réserve de l'art. 8, al. 3:
a  à l'âge de référence23 (art. 13);
b  en cas de dissolution des rapports de travail;
c  lorsque le salaire minimum n'est plus atteint;
d  lorsque le droit aux indemnités journalières de l'assurance-chômage s'éteint.
3    Durant un mois après la fin des rapports avec l'institution de prévoyance, le salarié demeure assuré auprès de l'ancienne institution de prévoyance pour les risques de décès et d'invalidité.25 Si un rapport de prévoyance existait auparavant, c'est la nouvelle institution de prévoyance qui est compétente.26
LPP) et l'obligation d'être assuré cesse notamment en cas de dissolution des rapports de travail (art. 10 al. 2 let. b
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 10 Début et fin de l'assurance obligatoire - 1 L'assurance obligatoire commence en même temps que les rapports de travail; pour les bénéficiaires d'indemnités journalières de l'assurance-chômage, elle commence le jour où ils perçoivent pour la première fois une indemnité de chômage.22
1    L'assurance obligatoire commence en même temps que les rapports de travail; pour les bénéficiaires d'indemnités journalières de l'assurance-chômage, elle commence le jour où ils perçoivent pour la première fois une indemnité de chômage.22
2    L'obligation d'être assuré cesse, sous réserve de l'art. 8, al. 3:
a  à l'âge de référence23 (art. 13);
b  en cas de dissolution des rapports de travail;
c  lorsque le salaire minimum n'est plus atteint;
d  lorsque le droit aux indemnités journalières de l'assurance-chômage s'éteint.
3    Durant un mois après la fin des rapports avec l'institution de prévoyance, le salarié demeure assuré auprès de l'ancienne institution de prévoyance pour les risques de décès et d'invalidité.25 Si un rapport de prévoyance existait auparavant, c'est la nouvelle institution de prévoyance qui est compétente.26
LPP). En matière de prévoyance surobligatoire, la dissolution des rapports de travail est également un motif qui met fin à l'assurance (ATF 121 V 280 consid. 2b).
Selon l'art. 10 al. 3
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 10 Début et fin de l'assurance obligatoire - 1 L'assurance obligatoire commence en même temps que les rapports de travail; pour les bénéficiaires d'indemnités journalières de l'assurance-chômage, elle commence le jour où ils perçoivent pour la première fois une indemnité de chômage.22
1    L'assurance obligatoire commence en même temps que les rapports de travail; pour les bénéficiaires d'indemnités journalières de l'assurance-chômage, elle commence le jour où ils perçoivent pour la première fois une indemnité de chômage.22
2    L'obligation d'être assuré cesse, sous réserve de l'art. 8, al. 3:
a  à l'âge de référence23 (art. 13);
b  en cas de dissolution des rapports de travail;
c  lorsque le salaire minimum n'est plus atteint;
d  lorsque le droit aux indemnités journalières de l'assurance-chômage s'éteint.
3    Durant un mois après la fin des rapports avec l'institution de prévoyance, le salarié demeure assuré auprès de l'ancienne institution de prévoyance pour les risques de décès et d'invalidité.25 Si un rapport de prévoyance existait auparavant, c'est la nouvelle institution de prévoyance qui est compétente.26
LPP, le salarié demeure assuré auprès de l'ancienne institution de prévoyance pour les risques de décès et d'invalidité durant un mois après la fin des rapports avec l'institution de prévoyance. Si un nouveau rapport de prévoyance naît avant l'échéance du délai d'un mois, c'est la nouvelle institution de prévoyance qui est compétente (pour la prévoyance surobligatoire: art. 331a al. 2
SR 220 Première partie: Dispositions générales Titre premier: De la formation des obligations Chapitre I: Des obligations résultant d'un contrat
CO Art. 331a - 1 La prévoyance commence le jour où débute le rapport de travail; elle prend fin le jour où le travailleur quitte l'institution de prévoyance.
1    La prévoyance commence le jour où débute le rapport de travail; elle prend fin le jour où le travailleur quitte l'institution de prévoyance.
2    Le travailleur bénéficie toutefois d'une protection de prévoyance contre le risque du décès ou de l'invalidité jusqu'à la conclusion d'un nouveau rapport de prévoyance, mais au maximum pendant un mois.
3    L'institution de prévoyance peut exiger de l'assuré des cotisations de risque pour la prévoyance maintenue après la fin du rapport de prévoyance.
CO).

3.3 En l'espèce, il est établi que les rapports de travail ont été résiliés pour le 31 août 2001. Le recourant n'a pas été engagé par un nouvel employeur durant le délai d'un mois à compter du 1er septembre 2001. Il est donc resté assuré auprès de l'intimée jusqu'au 30 septembre 2001, pour les risques de décès et d'invalidité.

4.
4.1 Conformément à l'art. 26 al. 1
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 26 Début et fin du droit aux prestations - 1 Les dispositions de la loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité80 (art. 29 LAI) s'appliquent par analogie à la naissance du droit aux prestations d'invalidité.81
1    Les dispositions de la loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité80 (art. 29 LAI) s'appliquent par analogie à la naissance du droit aux prestations d'invalidité.81
2    L'institution de prévoyance peut prévoir, dans ses dispositions réglementaires, que le droit aux prestations est différé aussi longtemps que l'assuré reçoit un salaire entier.
3    Le droit aux prestations s'éteint au décès du bénéficiaire ou, sous réserve de l'art. 26a, à la disparition de l'invalidité.82 Pour les assurés qui sont astreints à l'assurance obligatoire selon l'art. 2, al. 3, ou qui poursuivent volontairement leur prévoyance selon l'art. 47, al. 2, la rente-invalidité s'éteint au plus tard lors de la naissance du droit à une prestation de vieillesse (art. 13, al. 1).83
4    Si l'assuré n'est pas affilié à l'institution de prévoyance tenue de lui fournir des prestations au moment où est né le droit à la prestation, l'institution de prévoyance à laquelle il était affilié en dernier est tenue de verser la prestation préalable. Lorsque l'institution de prévoyance tenue de verser la prestation est connue, l'institution tenue de verser la prestation préalable peut répercuter la prétention sur elle.84
LPP, les dispositions de la LAI (art. 29
SR 831.20 Loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité (LAI)
LAI Art. 29 Naissance du droit et versement de la rente - 1 Le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations conformément à l'art. 29, al. 1, LPGA215, mais pas avant le mois qui suit le 18e anniversaire de l'assuré.
1    Le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations conformément à l'art. 29, al. 1, LPGA215, mais pas avant le mois qui suit le 18e anniversaire de l'assuré.
2    Le droit ne prend pas naissance tant que l'assuré peut faire valoir son droit à une indemnité journalière au sens de l'art. 22.
3    La rente est versée dès le début du mois au cours duquel le droit prend naissance.
4    Les rentes correspondant à un taux d'invalidité inférieur à 50 % ne sont versées qu'aux assurés qui ont leur domicile et leur résidence habituelle (art. 13 LPGA) en Suisse. Cette condition doit également être remplie par les proches pour lesquels une prestation est réclamée.
LAI) s'appliquent par analogie à la naissance du droit aux prestations d'invalidité. Si une institution de prévoyance reprend - explicitement ou par renvoi - la définition de l'invalidité dans l'assurance-invalidité, elle est en principe liée, lors de la survenance du fait assuré, par l'estimation de l'invalidité des organes de l'assurance-invalidité, sauf lorsque cette estimation apparaît d'emblée insoutenable (ATF 126 V 308 consid. 1 in fine p. 311; consid. 2 non publié de l'arrêt ATF 130 V 501). Cette force contraignante vaut non seulement pour la fixation du degré d'invalidité (ATF 115 V 208), mais également pour la détermination du moment à partir duquel la capacité de travail de l'assuré s'est détériorée de manière sensible et durable (ATF 129 V 150 consid. 2.5 p. 156, 123 V 269 consid. 2a p. 271). Pour que l'institution de prévoyance, qui dispose d'un droit de recours propre dans les procédures régies par la LAI, soit liée par l'évaluation de l'invalidité (principe, taux et début du droit) à laquelle ont procédé les organes de l'assurance-invalidité, il faut que l'institution de prévoyance ait été valablement intégrée à la procédure (ATF 129 V 73
consid. 4.2 p. 75 s.; voir aussi ATF 133 V 67 consid. 4.3.2 p. 69, 130 V 270 consid. 3.1 p. 273 s.).
Le Tribunal fédéral des assurances a précisé dans l'arrêt B 45/03 du 13 juillet 2004, au consid. 2.3.2 non publié aux ATF 130 V 501 mais paru in SVR 2005 BVG n° 5 p. 16, que la force contraignante de la décision de l'organe de l'assurance-invalidité pour l'institution de prévoyance repose sur l'idée de décharger celle-ci de mesures d'instruction relativement importantes. Elle ne vaut dès lors qu'en ce qui concerne les constatations et appréciations des organes de l'assurance-invalidité qui étaient déterminantes dans la procédure de l'assurance-invalidité pour établir le droit à une rente d'invalidité et qui devaient effectivement faire l'objet d'une détermination. Dans le cas contraire, les organes de la prévoyance professionnelle sont tenus d'examiner librement les conditions du droit aux prestations (cf. arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] B 50/99 du 14 août 2000, consid. 2b). Le fait que l'assurance-invalidité a fixé le début du droit à la rente n'exclut donc pas que l'incapacité de travail sur laquelle est fondé le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle soit survenue (dans une mesure plus restreinte) plus d'une année auparavant (arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] B 47/98 du 11
juillet 2000, consid. 4d non reproduit in RSAS 2003 p. 45).

4.2 En l'espèce, l'intimée n'a pas participé à la procédure AI et les décisions de rentes de l'office AI ne lui ont pas été notifiées. Elle n'est donc, sous cet angle, pas liée par les décisions de l'assurance-invalidité (ATF 129 V 73 consid. 4.2 p. 75 s.). Ce principe souffre toutefois une restriction: si l'institution de prévoyance reste dans le cadre de la décision qui a été prise en droit de l'assurance-invalidité, le fait qu'elle n'a pas été intégrée à la procédure AI (ATF 126 V 308 consid. 2a p. 311) n'a aucune portée. Dans ce cas, l'assuré doit (sauf si la décision de l'assurance-invalidité apparaît d'emblée insoutenable; ATF 126 V 308 consid. 1 p. 311) se laisser opposer le caractère contraignant des constatations de l'assurance-invalidité, même si l'institution de prévoyance n'a pas participé à la procédure AI (arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] B 39/03 du 9 février 2004, consid. 3.1 résumé in RSAS 2004 p. 452). Relevant d'une question de droit, le caractère insoutenable peut être examiné librement par le Tribunal fédéral (art. 95 let. a
SR 173.110 Loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF) - Organisation judiciaire
LTF Art. 95 Droit suisse - Le recours peut être formé pour violation:
a  du droit fédéral;
b  du droit international;
c  de droits constitutionnels cantonaux;
d  de dispositions cantonales sur le droit de vote des citoyens ainsi que sur les élections et votations populaires;
e  du droit intercantonal.
LTF; arrêts 9C 700/2007 du 26 juin 2008 consid. 4.1 et 9C 182/2007 du 7 décembre 2007 consid. 4.1.1) en fonction de l'état de fait au moment de la décision de rente (ATF 126 V 308
consid. 2a p. 311).

5.
5.1 Ont droit à des prestations d'invalidité les personnes invalides qui étaient assurées lors de la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité (art. 23
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 23 Droit aux prestations - Ont droit à des prestations d'invalidité les personnes qui:
a  sont invalides à raison de 40 % au moins au sens de l'AI, et qui étaient assurées lorsqu'est survenue l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité;
b  à la suite d'une infirmité congénitale, étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins;
c  étant devenues invalides avant leur majorité (art. 8, al. 2, LPGA68), étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins.
LPP, 2ème partie de la phrase, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2004).

5.2 Le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire suppose que l'incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de l'invalidité, soit survenue pendant la durée du rapport de prévoyance (y compris la prolongation prévue à l'art. 10 al. 3
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 10 Début et fin de l'assurance obligatoire - 1 L'assurance obligatoire commence en même temps que les rapports de travail; pour les bénéficiaires d'indemnités journalières de l'assurance-chômage, elle commence le jour où ils perçoivent pour la première fois une indemnité de chômage.22
1    L'assurance obligatoire commence en même temps que les rapports de travail; pour les bénéficiaires d'indemnités journalières de l'assurance-chômage, elle commence le jour où ils perçoivent pour la première fois une indemnité de chômage.22
2    L'obligation d'être assuré cesse, sous réserve de l'art. 8, al. 3:
a  à l'âge de référence23 (art. 13);
b  en cas de dissolution des rapports de travail;
c  lorsque le salaire minimum n'est plus atteint;
d  lorsque le droit aux indemnités journalières de l'assurance-chômage s'éteint.
3    Durant un mois après la fin des rapports avec l'institution de prévoyance, le salarié demeure assuré auprès de l'ancienne institution de prévoyance pour les risques de décès et d'invalidité.25 Si un rapport de prévoyance existait auparavant, c'est la nouvelle institution de prévoyance qui est compétente.26
LPP), conformément au principe d'assurance (art. 23
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 23 Droit aux prestations - Ont droit à des prestations d'invalidité les personnes qui:
a  sont invalides à raison de 40 % au moins au sens de l'AI, et qui étaient assurées lorsqu'est survenue l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité;
b  à la suite d'une infirmité congénitale, étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins;
c  étant devenues invalides avant leur majorité (art. 8, al. 2, LPGA68), étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins.
LPP; ATF 135 V 13 consid. 2.6 p. 17, 134 V 20 consid. 3 p. 21 s., 123 V 262 consid. 1c p. 264). L'événement assuré est uniquement la survenance d'une incapacité de travail d'une certaine importance, indépendamment du point de savoir à partir de quel moment et dans quelle mesure un droit à une prestation d'invalidité est né. La qualité d'assuré doit exister au moment de la survenance de l'incapacité de travail, mais pas nécessairement lors de l'apparition ou de l'aggravation de l'invalidité (ATF 136 V 65 consid. 3.1 p. 68, 123 V 262 consid. 1a p. 263). Lorsqu'il existe un droit à une prestation d'invalidité fondée sur une incapacité de travail survenue durant la période d'assurance, l'institution de prévoyance concernée est tenue de prendre en charge le cas, même si le degré d'invalidité se modifie après la fin des rapports de prévoyance. Dans ce sens, la perte de la qualité d'assuré ne constitue pas un
motif d'extinction du droit aux prestations au sens de l'art. 26 al. 3
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 26 Début et fin du droit aux prestations - 1 Les dispositions de la loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité80 (art. 29 LAI) s'appliquent par analogie à la naissance du droit aux prestations d'invalidité.81
1    Les dispositions de la loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité80 (art. 29 LAI) s'appliquent par analogie à la naissance du droit aux prestations d'invalidité.81
2    L'institution de prévoyance peut prévoir, dans ses dispositions réglementaires, que le droit aux prestations est différé aussi longtemps que l'assuré reçoit un salaire entier.
3    Le droit aux prestations s'éteint au décès du bénéficiaire ou, sous réserve de l'art. 26a, à la disparition de l'invalidité.82 Pour les assurés qui sont astreints à l'assurance obligatoire selon l'art. 2, al. 3, ou qui poursuivent volontairement leur prévoyance selon l'art. 47, al. 2, la rente-invalidité s'éteint au plus tard lors de la naissance du droit à une prestation de vieillesse (art. 13, al. 1).83
4    Si l'assuré n'est pas affilié à l'institution de prévoyance tenue de lui fournir des prestations au moment où est né le droit à la prestation, l'institution de prévoyance à laquelle il était affilié en dernier est tenue de verser la prestation préalable. Lorsque l'institution de prévoyance tenue de verser la prestation est connue, l'institution tenue de verser la prestation préalable peut répercuter la prétention sur elle.84
LPP (ATF 123 V 262 consid. 1a p. 263, 118 V 35 consid. 5 p. 45). Pour la survenance de l'incapacité de travail au sens de l'art. 23
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 23 Droit aux prestations - Ont droit à des prestations d'invalidité les personnes qui:
a  sont invalides à raison de 40 % au moins au sens de l'AI, et qui étaient assurées lorsqu'est survenue l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité;
b  à la suite d'une infirmité congénitale, étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins;
c  étant devenues invalides avant leur majorité (art. 8, al. 2, LPGA68), étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins.
LPP, c'est la diminution de la capacité fonctionnelle de rendement dans la profession exercée jusque-là ou le champ d'activités habituelles qui est déterminante (ATF 134 V 20 consid. 3.2.2 p. 23 et les références), la diminution de la capacité fonctionnelle de rendement dans la profession exercée jusque-là devant être de 20 % au moins (arrêts 9C 748/2010 du 20 mai 2011 consid. 2.5, 9C 297/2010 du 23 septembre 2010 consid. 2.1 et 9C 127/2008 du 11 août 2008 consid. 2.3).
Pour que l'institution de prévoyance reste tenue à prestations, après la dissolution du rapport de prévoyance, il faut non seulement que l'incapacité de travail ait débuté à une époque où l'assuré lui était affilié, mais encore qu'il existe entre cette incapacité de travail et l'invalidité une relation d'étroite connexité. La connexité doit être à la fois matérielle et temporelle (ATF 130 V 270 consid. 4.1 p. 275). Il y a connexité matérielle si l'affection à l'origine de l'invalidité est la même que celle qui s'est déjà manifestée durant le rapport de prévoyance (et qui a entraîné une incapacité de travail). La connexité temporelle implique qu'il ne se soit pas écoulé une longue interruption de l'incapacité de travail; elle est rompue si, pendant une certaine période qui peut varier en fonction des circonstances du cas, l'assuré est à nouveau apte à travailler. L'institution de prévoyance ne saurait, en effet, répondre de rechutes lointaines plusieurs années après que l'assuré a recouvré sa capacité de travail (ATF 123 V 262 consid. 1c p. 264, 120 V 112 consid. 2c/aa p. 117 s.).

5.3 La détermination du moment de la survenance de l'incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de l'invalidité, est une question de fait. En revanche, le point de vue sur la base duquel intervient la décision relative au moment de la survenance de l'incapacité de travail déterminante relève du droit (arrêts 9C 297/2010 du 23 septembre 2010 consid. 2.3 (in SVR 2011 BVG n° 14 p. 51) et 9C 127/2008 du 11 août 2008 consid. 2.2 (in SVR 2008 BVG n° 34 p. 143).

6.
6.1 La juridiction cantonale a retenu, en se fondant sur le dossier de l'office AI, que l'incapacité de travail au sens de l'art. 29 al.1 let. b
SR 831.20 Loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité (LAI)
LAI Art. 29 Naissance du droit et versement de la rente - 1 Le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations conformément à l'art. 29, al. 1, LPGA215, mais pas avant le mois qui suit le 18e anniversaire de l'assuré.
1    Le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations conformément à l'art. 29, al. 1, LPGA215, mais pas avant le mois qui suit le 18e anniversaire de l'assuré.
2    Le droit ne prend pas naissance tant que l'assuré peut faire valoir son droit à une indemnité journalière au sens de l'art. 22.
3    La rente est versée dès le début du mois au cours duquel le droit prend naissance.
4    Les rentes correspondant à un taux d'invalidité inférieur à 50 % ne sont versées qu'aux assurés qui ont leur domicile et leur résidence habituelle (art. 13 LPGA) en Suisse. Cette condition doit également être remplie par les proches pour lesquels une prestation est réclamée.
LAI (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007) avait débuté le 15 avril 2002 lors de l'hospitalisation du recourant à V.________. Pour la période antérieure, elle a admis l'existence d'atteintes à la santé qui n'avaient pas de caractère incapacitant au sens de la loi sur l'assurance-invalidité ni partant au sens de la LPP, puisque l'art. 26
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 26 Début et fin du droit aux prestations - 1 Les dispositions de la loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité80 (art. 29 LAI) s'appliquent par analogie à la naissance du droit aux prestations d'invalidité.81
1    Les dispositions de la loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité80 (art. 29 LAI) s'appliquent par analogie à la naissance du droit aux prestations d'invalidité.81
2    L'institution de prévoyance peut prévoir, dans ses dispositions réglementaires, que le droit aux prestations est différé aussi longtemps que l'assuré reçoit un salaire entier.
3    Le droit aux prestations s'éteint au décès du bénéficiaire ou, sous réserve de l'art. 26a, à la disparition de l'invalidité.82 Pour les assurés qui sont astreints à l'assurance obligatoire selon l'art. 2, al. 3, ou qui poursuivent volontairement leur prévoyance selon l'art. 47, al. 2, la rente-invalidité s'éteint au plus tard lors de la naissance du droit à une prestation de vieillesse (art. 13, al. 1).83
4    Si l'assuré n'est pas affilié à l'institution de prévoyance tenue de lui fournir des prestations au moment où est né le droit à la prestation, l'institution de prévoyance à laquelle il était affilié en dernier est tenue de verser la prestation préalable. Lorsque l'institution de prévoyance tenue de verser la prestation est connue, l'institution tenue de verser la prestation préalable peut répercuter la prétention sur elle.84
LPP renvoie expressément à l'art. 29
SR 831.20 Loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité (LAI)
LAI Art. 29 Naissance du droit et versement de la rente - 1 Le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations conformément à l'art. 29, al. 1, LPGA215, mais pas avant le mois qui suit le 18e anniversaire de l'assuré.
1    Le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations conformément à l'art. 29, al. 1, LPGA215, mais pas avant le mois qui suit le 18e anniversaire de l'assuré.
2    Le droit ne prend pas naissance tant que l'assuré peut faire valoir son droit à une indemnité journalière au sens de l'art. 22.
3    La rente est versée dès le début du mois au cours duquel le droit prend naissance.
4    Les rentes correspondant à un taux d'invalidité inférieur à 50 % ne sont versées qu'aux assurés qui ont leur domicile et leur résidence habituelle (art. 13 LPGA) en Suisse. Cette condition doit également être remplie par les proches pour lesquels une prestation est réclamée.
LAI.

6.2 Le recourant conteste que l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité ait débuté en avril 2002 lors de son hospitalisation. Il estime que la juridiction cantonale a violé l'art. 23
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 23 Droit aux prestations - Ont droit à des prestations d'invalidité les personnes qui:
a  sont invalides à raison de 40 % au moins au sens de l'AI, et qui étaient assurées lorsqu'est survenue l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité;
b  à la suite d'une infirmité congénitale, étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins;
c  étant devenues invalides avant leur majorité (art. 8, al. 2, LPGA68), étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins.
LPP en faisant coïncider le début de l'incapacité de travail selon l'art. 29 al. 1 let. b
SR 831.20 Loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité (LAI)
LAI Art. 29 Naissance du droit et versement de la rente - 1 Le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations conformément à l'art. 29, al. 1, LPGA215, mais pas avant le mois qui suit le 18e anniversaire de l'assuré.
1    Le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations conformément à l'art. 29, al. 1, LPGA215, mais pas avant le mois qui suit le 18e anniversaire de l'assuré.
2    Le droit ne prend pas naissance tant que l'assuré peut faire valoir son droit à une indemnité journalière au sens de l'art. 22.
3    La rente est versée dès le début du mois au cours duquel le droit prend naissance.
4    Les rentes correspondant à un taux d'invalidité inférieur à 50 % ne sont versées qu'aux assurés qui ont leur domicile et leur résidence habituelle (art. 13 LPGA) en Suisse. Cette condition doit également être remplie par les proches pour lesquels une prestation est réclamée.
LAI avec le début de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité. En se fondant sur les rapports médicaux du dossier, en particulier sur l'expertise de la Clinique Z.________, il considère qu'il est établi que l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité remonte à l'année 2000, époque où il était encore assuré par l'intimée.

6.3 En l'espèce, tous les médecins qui ont examiné le recourant depuis 2000, y compris les experts G.________ et S.________ de la Clinique Z.________, ont diagnostiqué un trouble somatoforme douloureux (rapports des docteurs F.________ du 9 août 2001, T.________ du 12 juin 2001, B.________ du 12 mars 2001, K.________ du 19 février 2001, O.________ et H.________ du 4 juin 2002, E.________ et I.________ du 29 avril 2003, C.________ du 31 juillet 2003 et U.________ du 6 octobre 2003). Il est donc dûment établi que le recourant a souffert d'un trouble somatoforme douloureux depuis sa mise en incapacité de travail le 17 novembre 2000.

6.4 En revanche, le caractère invalidant de l'affection est apprécié différemment selon les médecins. Pour le docteur F.________, médecin traitant, l'incapacité de travail était totale tant dans l'activité de machiniste que pour un travail adaptée et l'éventuelle capacité résiduelle de travail devait être évaluée en atelier (rapport du 9 août 2001). Pour le docteur T.________, qui est intervenu comme expert psychiatre pour le compte de l'assurance indemnités journalières, le trouble somatoforme douloureux n'était pas invalidant faute de comorbidité (rapport du 12 juin 2001). Le docteur K.________, rhumatologue, dans son expertise du 19 février 2001, a estimé que l'assuré était apte à travailler à 50 %. Le docteur B.________, rhumatologue, a considéré que le recourant ne pouvait pas reprendre son travail actuel même à temps partiel et qu'il fallait faire les démarches en vue d'une reconversion (rapport du 12 mars 2001). Le docteur P.________, neurochirurgien, a émis l'avis, sur la base de ses constations somatiques, que l'assuré devait urgemment travailler à 50 % au moins dans une activité adaptée à son dos (rapport du 13 février 2002). Les docteurs O.________ et H.________, psychiatres à l'Hôpital J.________, ont estimé que leur
patient était totalement incapable de travailler (rapport du 4 juin 2002). Cet avis est partagé par les docteurs E.________ et I.________, psychiatres (rapport du 29 avril 2003). Le docteur C.________, psychiatre mandaté comme expert par l'office AI, a considéré que le recourant ne souffrait d'aucune affection psychiatrique réellement invalidante mais que « la conduite dans laquelle s'est enfermé M. A.________ l'empêche de reprendre une activité professionnelle, sans que l'on puisse retenir, sur le plan psychique, une incapacité de travail » (expertise du 31 juillet 2003). Enfin, les experts G.________ et S.________ ont admis l'existence d'une incapacité totale de travail dès avril 2002 et partielle (à 20 %) depuis 2000 (expertise du 13 novembre 2006).
Il n'est pas possible de déterminer une période précise pour le début de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité. Cependant, l'analyse des experts G.________ et S.________, sur laquelle s'est fondée la juridiction cantonale, a montré que l'évolution s'était faite « vers une aggravation progressive malgré un traitement psychiatrique suivi pour aboutir à un contenu délirant et à une altération majeure du comportement extra et intrafamilial », l'année 2002 correspondant à un stade où l'on pouvait admettre une incapacité complète (expertise du 13 novembre 2006). Les docteurs E.________ et I.________ sont allés dans le même sens en précisant que « la symptomatologie clinique de M. A.________ s'est gravement péjorée en 2000... ses défenses obsessionnelles se sont effondrées massivement au point d'empêcher M. A.________ de reprendre toute activité professionnelle et son état de santé s'est péjoré lentement jusqu'en avril 2002, date de son hospitalisation à V.________ » (rapport du 29 avril 2003). L'expert C.________, même s'il exclut le caractère invalidant de l'atteinte psychique, a, pour sa part, estimé qu' « il est plus que probable, en fonction de nos constations présentes, que l'état psychique
d'aujourd'hui, qui n'a pas changé de nature, ne se soit constitué que très progressivement et sans à-coups. C'est dans ce cadre que devait d'ailleurs se placer l'hospitalisation à V.________ en avril 2002 » (expertise du 31 juillet 2006). Enfin, le docteur N.________, médecin du SMR, a aussi admis une atteinte qui s'est installée progressivement pour devenir invalidante depuis le début 2002 (rapport du 7 février 2007).
Il résulte des différents avis médicaux mentionnés ci-dessus que l'on est en présence d'une situation qui s'est lentement et constamment dégradée depuis 2000. Dès lors, la question qui se pose est de savoir si un trouble somatoforme douloureux, dont l'expérience enseigne qu'il n'est en général pas invalidant, peut dans le cas particulier - en tenant compte des faits médicaux comme ils résultent du dossier - être la cause d'une incapacité de travail de 20 %, déterminante sous l'angle de l'art. 23
SR 831.40 Loi fédérale du 25 juin 1982 sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP)
LPP Art. 23 Droit aux prestations - Ont droit à des prestations d'invalidité les personnes qui:
a  sont invalides à raison de 40 % au moins au sens de l'AI, et qui étaient assurées lorsqu'est survenue l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité;
b  à la suite d'une infirmité congénitale, étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins;
c  étant devenues invalides avant leur majorité (art. 8, al. 2, LPGA68), étaient atteintes d'une incapacité de travail comprise entre 20 et 40 % au début de l'activité lucrative et qui étaient assurées lorsque l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité s'est aggravée pour atteindre 40 % au moins.
LPP en ce qui concerne la connexité matérielle et temporelle. Etant donné que l'on est en présence d'une situation qui s'est lentement et constamment dégradée depuis 2000, l'autorité précédente aurait dû examiner si pendant cette période le trouble somatoforme douloureux dont est atteint le recourant (supra, consid. 6.3) était propre à causer une incapacité de travail de 20 %. Sur le vu des conclusions des docteurs G.________ et S.________ dans leur rapport d'expertise du 13 novembre 2006 dont il résulte qu'il y avait une incapacité de travail de 20 % au moins depuis 2000, il apparaît que la juridiction cantonale, en retenant que l'incapacité de travail déterminante avait débuté en avril 2002, a établi les faits de façon manifestement
inexacte, ce qui vaut également - et nécessairement - pour l'appréciation divergente de l'AI. Force est de constater qu'en 2000, l'incapacité de travail du recourant était déjà de 20 % au moins et qu'en septembre 2001 au plus tard, le recourant était bel et bien incapable de travailler en raison de l'atteinte qui est à l'origine de son invalidité.

6.5 Les autres conditions de l'octroi d'une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle n'étant pas contestées, il y a lieu d'admettre, en modification de la décision cantonale, que le recourant a droit à une rente entière d'invalidité LPP de la part de l'intimée à partir du 1er avril 2003, rien ne permettant de s'écarter de la décision de l'assurance-invalidité sur ce point. Le recours est bien fondé.

7.
Cela étant, il se justifie d'admettre le recours et de transmettre le dossier à l'intimée pour qu'elle procède au calcul de la rente et qu'elle verse au recourant l'arriéré y compris les intérêts moratoires.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1
SR 173.110 Loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF) - Organisation judiciaire
LTF Art. 66 Recouvrement des frais judiciaires - 1 En règle générale, les frais judiciaires sont mis à la charge de la partie qui succombe. Si les circonstances le justifient, le Tribunal fédéral peut les répartir autrement ou renoncer à les mettre à la charge des parties.
1    En règle générale, les frais judiciaires sont mis à la charge de la partie qui succombe. Si les circonstances le justifient, le Tribunal fédéral peut les répartir autrement ou renoncer à les mettre à la charge des parties.
2    Si une affaire est liquidée par un désistement ou une transaction, les frais judiciaires peuvent être réduits ou remis.
3    Les frais causés inutilement sont supportés par celui qui les a engendrés.
4    En règle générale, la Confédération, les cantons, les communes et les organisations chargées de tâches de droit public ne peuvent se voir imposer de frais judiciaires s'ils s'adressent au Tribunal fédéral dans l'exercice de leurs attributions officielles sans que leur intérêt patrimonial soit en cause ou si leurs décisions font l'objet d'un recours.
5    Sauf disposition contraire, les frais judiciaires mis conjointement à la charge de plusieurs personnes sont supportés par elles à parts égales et solidairement.
LTF). Elle versera au recourant une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1
SR 173.110 Loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF) - Organisation judiciaire
LTF Art. 68 Dépens - 1 Le Tribunal fédéral décide, dans son arrêt, si et dans quelle mesure les frais de la partie qui obtient gain de cause sont supportés par celle qui succombe.
1    Le Tribunal fédéral décide, dans son arrêt, si et dans quelle mesure les frais de la partie qui obtient gain de cause sont supportés par celle qui succombe.
2    En règle générale, la partie qui succombe est tenue de rembourser à la partie qui a obtenu gain de cause, selon le tarif du Tribunal fédéral, tous les frais nécessaires causés par le litige.
3    En règle générale, aucuns dépens ne sont alloués à la Confédération, aux cantons, aux communes ou aux organisations chargées de tâches de droit public lorsqu'ils obtiennent gain de cause dans l'exercice de leurs attributions officielles.
4    L'art. 66, al. 3 et 5, est applicable par analogie.
5    Le Tribunal fédéral confirme, annule ou modifie, selon le sort de la cause, la décision de l'autorité précédente sur les dépens. Il peut fixer lui-même les dépens d'après le tarif fédéral ou cantonal applicable ou laisser à l'autorité précédente le soin de les fixer.
LTF). Il convient de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:

1.
Le recours est admis et le jugement du Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour des assurances sociales, du 23 mars 2011 est annulé. A.________ a droit à une rente entière d'invalidité de la part de l'Institution de prévoyance X.________, à partir du 1er avril 2003, avec intérêts moratoires.

2.
Le dossier est transmis à l'Institution de prévoyance X.________, pour calcul de la rente.

3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.

4.
L'intimée versera au recourant la somme de 2'800 fr., y compris la taxe à la valeur ajoutée, à titre de dépens pour la procédure de dernière instance.

5.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.

6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.

Lucerne, le 21 février 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse

Le Président: Meyer

Le Greffier: Wagner