Bundesgericht
Tribunal fédéral
Tribunale federale
Tribunal federal

{T 0/2}

2C_390/2013

Arrêt du 10 avril 2014

IIe Cour de droit public

Composition
MM. et Mme les Juges fédéraux Zünd, Président,
Aubry Girardin, Donzallaz, Stadelmann et Kneubühler.
Greffière: Mme Jolidon.

Participants à la procédure
Office fédéral des migrations,
recourant,

contre

A.________, représentée par LAW CONSULTING CABINET,
intimée,

Service de la population du canton de Vaud.

Objet
Autorisation de séjour CE/AELE, révocation,

recours contre l'arrêt du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, du 21 mars 2013.

Faits:

A.
A.________, ressortissante portugaise née le *** 1969, est entrée en Suisse le 8 janvier 2009 pour y travailler en tant que barmaid à plein temps. A cette fin, elle a obtenu une autorisation de séjour CE/AELE valable cinq ans, soit du 1er mars 2009 au 28 février 2014.

A.________ a exercé cette activité à 100% du 1er au 31 mars, puis a conclu, avec la même société, un contrat pour une activité à 50% dès le 1er avril 2009. Elle a été licenciée pour restructuration le 28 février 2010.

L'intéressée a alors perçu des indemnités de l'assurance-chômage du 1er mars 2010 au 31 mars 2011; puis, son droit à ces indemnités étant épuisé, elle a bénéficié des prestations de l'aide sociale dès le 1er avril 2011.

Par la suite, A.________ a occupé un emploi temporaire d'insertion, fourni par un office régional de placement, en qualité d'opératrice auprès de l'administration du 18 octobre 2010 au 17 avril 2011; elle a alors été en arrêt de travail pour cause de maladie du 18 au 21 novembre 2010, du 13 au 24 janvier 2011, du 7 au 8 février et du 15 au 28 février 2011. Dans le cadre du programme d'insertion en qualité de bénéficiaire de l'aide sociale, A.________ s'est encore vu attribuer une activité du 1er octobre au 31 décembre 2011 dans l'intendance de B.________; son salaire brut mensuel s'élevait à 2'700 fr.; elle a quitté cet emploi le 5 décembre 2011.

Par lettre du 8 mai 2012, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population) a informé A.________ de son intention de révoquer l'autorisation de séjour de l'intéressée, compte tenu du fait que celle-ci ne pouvait plus se prévaloir de la qualité de travailleur communautaire.

Le 24 mai 2012, l'Office régional de placement a clôturé le dossier de l'intéressée.

A la même date, A.________ a été engagée à 80% auprès de la société C.________ SA dans le cadre d'un contrat de mission de trois mois, soit du 24 mai au 24 août 2012. Elle a été en incapacité de travail totale du 8 au 22 juin 2012 et du 26 juin au 10 juillet 2012, puis en incapacité partielle (50%) du 11 au 23 juillet 2012 pour se retrouver à nouveau en incapacité totale du 24 juillet au 7 août 2012.

Le 17 septembre 2012, le Service de la population a révoqué l'autorisation de séjour CE/AELE de A.________, et a prononcé son renvoi de Suisse dans un délai de trois mois. Il a retenu que le faible nombre d'heures de travail hebdomadaire effectuées par l'intéressée ne lui permettait plus de se prévaloir de la qualité de travailleur communautaire; en outre, celle-ci ne disposait que d'un très faible revenu aléatoire qui n'assurait pas son autonomie financière, si bien qu'elle percevait des prestations de l'aide sociale; elle ne remplissait dès lors pas les conditions lui permettant de séjourner en Suisse sans exercer une activité lucrative. Enfin, sa situation ne constituait pas un cas de rigueur.

B.
Par arrêt du 21 mars 2013, le Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a admis le recours de A.________. Il a retenu en substance que l'intimée avait obtenu, à son arrivée en Suisse, une autorisation de séjour CE/AELE (actuellement UE/AELE) avec activité lucrative valable cinq ans; celle-ci avait exercé une première activité lucrative, en qualité de barmaid, du 1er mars 2009 au 28 février 2010. Dès lors que A.________ avait effectivement occupé durant un an un emploi qui portait sur une activité économique réelle et effective, il apparaissait qu'elle avait acquis la qualité de travailleuse salariée communautaire au sens de l'art. 6 annexe I de I'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ci-après: ALCP ou l'Accord; RS 0.142.112.681). Il en découlait que son titre de séjour en cours de validité ne pouvait lui être retiré du seul fait qu'elle n'occupait plus d'emploi. En effet, toujours selon le Tribunal cantonal, au regard de l'art. 6 par. 6 annexe I ALCP seule une situation de chômage volontaire pouvait justifier la révocation de l'autorisation de séjour CE/AELE de l'intimée;
or, le Service de la population ne prétendait pas que A.________ était dans une telle situation et aucun élément allant dans ce sens ne ressortait du dossier. Enfin, le fait que l'intéressée soit tombée à la charge de l'assistance publique ne constituait pas un motif de révocation de l'autorisation de séjour CE/AELE au sens de l'art. 5
IR 0.142.112.681 Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (mit Anhängen, Prot. und Schlussakte)
FZA Art. 5 Dienstleistungserbringer - (1) Unbeschadet besonderer Abkommen über die Erbringung von Dienstleistungen zwischen den Vertragsparteien (einschliesslich des Abkommens über das öffentliche Beschaffungswesen, sofern es die Erbringung von Dienstleistungen umfasst) wird einem Dienstleistungserbringer einschliesslich Gesellschaften gemäss Anhang I das Recht eingeräumt, Dienstleistungen im Hoheitsgebiet der anderen Vertragspartei zu erbringen, deren tatsächliche Dauer 90 Arbeitstage pro Kalenderjahr nicht überschreitet.
a  er gemäss Absatz 1 oder auf Grund eines in Absatz 1 genannten Abkommens zur Erbringung einer Dienstleistung berechtigt ist oder,
b  falls die Voraussetzungen unter Buchstabe a nicht erfüllt sind, ihm von den zuständigen Behörden der betreffenden Vertragspartei eine Erlaubnis zur Erbringung einer Dienstleistung erteilt wurde.
annexe I ALCP.

C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, d'annuler l'arrêt du 21 mars 2013.

A.________ conclut au rejet du recours. Le Service de la population se rallie aux considérations de l'Office fédéral et demande l'admission du recours. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de l'arrêt attaqué.

Considérant en droit:

1.
Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 136 I 43 consid. 1 p. 43).

1.1. Selon la jurisprudence, la voie du recours en matière de droit public est ouverte à l'Office fédéral qui fait valoir que l'autorité cantonale aurait reconnu l'existence d'un droit à une autorisation en matière de droit des étrangers en violation du droit fédéral (ATF 130 II 137 consid. 1.2 p. 140 s.). La présente cause ne tombe ainsi pas sous le coup de l'art. 83 let. c ch. 2
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 83 Ausnahmen - Die Beschwerde ist unzulässig gegen:
a  Entscheide auf dem Gebiet der inneren oder äusseren Sicherheit des Landes, der Neutralität, des diplomatischen Schutzes und der übrigen auswärtigen Angelegenheiten, soweit das Völkerrecht nicht einen Anspruch auf gerichtliche Beurteilung einräumt;
b  Entscheide über die ordentliche Einbürgerung;
c  Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend:
c1  die Einreise,
c2  Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt,
c3  die vorläufige Aufnahme,
c4  die Ausweisung gestützt auf Artikel 121 Absatz 2 der Bundesverfassung und die Wegweisung,
c5  Abweichungen von den Zulassungsvoraussetzungen,
c6  die Verlängerung der Grenzgängerbewilligung, den Kantonswechsel, den Stellenwechsel von Personen mit Grenzgängerbewilligung sowie die Erteilung von Reisepapieren an schriftenlose Ausländerinnen und Ausländer;
d  Entscheide auf dem Gebiet des Asyls, die:
d1  vom Bundesverwaltungsgericht getroffen worden sind, ausser sie betreffen Personen, gegen die ein Auslieferungsersuchen des Staates vorliegt, vor welchem sie Schutz suchen,
d2  von einer kantonalen Vorinstanz getroffen worden sind und eine Bewilligung betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt;
e  Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern oder von Bundespersonal;
f  Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen, wenn:
fbis  Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts über Verfügungen nach Artikel 32i des Personenbeförderungsgesetzes vom 20. März 200963;
f1  sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt; vorbehalten bleiben Beschwerden gegen Beschaffungen des Bundesverwaltungsgerichts, des Bundesstrafgerichts, des Bundespatentgerichts, der Bundesanwaltschaft sowie der oberen kantonalen Gerichtsinstanzen, oder
f2  der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgebenden Schwellenwert nach Artikel 52 Absatz 1 in Verbindung mit Anhang 4 Ziffer 2 des Bundesgesetzes vom 21. Juni 201961 über das öffentliche Beschaffungswesen nicht erreicht;
g  Entscheide auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse, wenn sie eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit, nicht aber die Gleichstellung der Geschlechter betreffen;
h  Entscheide auf dem Gebiet der internationalen Amtshilfe, mit Ausnahme der Amtshilfe in Steuersachen;
i  Entscheide auf dem Gebiet des Militär-, Zivil- und Zivilschutzdienstes;
j  Entscheide auf dem Gebiet der wirtschaftlichen Landesversorgung, die bei schweren Mangellagen getroffen worden sind;
k  Entscheide betreffend Subventionen, auf die kein Anspruch besteht;
l  Entscheide über die Zollveranlagung, wenn diese auf Grund der Tarifierung oder des Gewichts der Ware erfolgt;
m  Entscheide über die Stundung oder den Erlass von Abgaben; in Abweichung davon ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide über den Erlass der direkten Bundessteuer oder der kantonalen oder kommunalen Einkommens- und Gewinnsteuer, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt oder es sich aus anderen Gründen um einen besonders bedeutenden Fall handelt;
n  Entscheide auf dem Gebiet der Kernenergie betreffend:
n1  das Erfordernis einer Freigabe oder der Änderung einer Bewilligung oder Verfügung,
n2  die Genehmigung eines Plans für Rückstellungen für die vor Ausserbetriebnahme einer Kernanlage anfallenden Entsorgungskosten,
n3  Freigaben;
o  Entscheide über die Typengenehmigung von Fahrzeugen auf dem Gebiet des Strassenverkehrs;
p  Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts auf dem Gebiet des Fernmeldeverkehrs, des Radios und des Fernsehens sowie der Post betreffend:68
p1  Konzessionen, die Gegenstand einer öffentlichen Ausschreibung waren,
p2  Streitigkeiten nach Artikel 11a des Fernmeldegesetzes vom 30. April 199769,
p3  Streitigkeiten nach Artikel 8 des Postgesetzes vom 17. Dezember 201071;
q  Entscheide auf dem Gebiet der Transplantationsmedizin betreffend:
q1  die Aufnahme in die Warteliste,
q2  die Zuteilung von Organen;
r  Entscheide auf dem Gebiet der Krankenversicherung, die das Bundesverwaltungsgericht gestützt auf Artikel 3472 des Verwaltungsgerichtsgesetzes vom 17. Juni 200573 (VGG) getroffen hat;
s  Entscheide auf dem Gebiet der Landwirtschaft betreffend:
s1  ...
s2  die Abgrenzung der Zonen im Rahmen des Produktionskatasters;
t  Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen, namentlich auf den Gebieten der Schule, der Weiterbildung und der Berufsausübung;
u  Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Kaufangebote (Art. 125-141 des Finanzmarktinfrastrukturgesetzes vom 19. Juni 201576);
v  Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts über Meinungsverschiedenheiten zwischen Behörden in der innerstaatlichen Amts- und Rechtshilfe;
w  Entscheide auf dem Gebiet des Elektrizitätsrechts betreffend die Plangenehmigung von Starkstromanlagen und Schwachstromanlagen und die Entscheide auf diesem Gebiet betreffend Enteignung der für den Bau oder Betrieb solcher Anlagen notwendigen Rechte, wenn sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt;
x  Entscheide betreffend die Gewährung von Solidaritätsbeiträgen nach dem Bundesgesetz vom 30. September 201680 über die Aufarbeitung der fürsorgerischen Zwangsmassnahmen und Fremdplatzierungen vor 1981, ausser wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt oder aus anderen Gründen ein besonders bedeutender Fall vorliegt;
y  Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts in Verständigungsverfahren zur Vermeidung einer den anwendbaren internationalen Abkommen im Steuerbereich nicht entsprechenden Besteuerung;
z  Entscheide betreffend die in Artikel 71c Absatz 1 Buchstabe b des Energiegesetzes vom 30. September 201683 genannten Baubewilligungen und notwendigerweise damit zusammenhängenden in der Kompetenz der Kantone liegenden Bewilligungen für Windenergieanlagen von nationalem Interesse, wenn sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt.
LTF.

1.2. Au surplus, le présent recours remplit les conditions des art. 42
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 42 Rechtsschriften - 1 Rechtsschriften sind in einer Amtssprache abzufassen und haben die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift zu enthalten.
1    Rechtsschriften sind in einer Amtssprache abzufassen und haben die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift zu enthalten.
2    In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt oder aus anderen Gründen ein besonders bedeutender Fall vorliegt, so ist auszuführen, warum die jeweilige Voraussetzung erfüllt ist. 14 15
3    Die Urkunden, auf die sich die Partei als Beweismittel beruft, sind beizulegen, soweit die Partei sie in Händen hat; richtet sich die Rechtsschrift gegen einen Entscheid, so ist auch dieser beizulegen.
4    Bei elektronischer Einreichung muss die Rechtsschrift von der Partei oder ihrem Vertreter beziehungsweise ihrer Vertreterin mit einer qualifizierten elektronischen Signatur gemäss Bundesgesetz vom 18. März 201616 über die elektronische Signatur versehen werden. Das Bundesgericht bestimmt in einem Reglement:
a  das Format der Rechtsschrift und ihrer Beilagen;
b  die Art und Weise der Übermittlung;
c  die Voraussetzungen, unter denen bei technischen Problemen die Nachreichung von Dokumenten auf Papier verlangt werden kann.17
5    Fehlen die Unterschrift der Partei oder ihrer Vertretung, deren Vollmacht oder die vorgeschriebenen Beilagen oder ist die Vertretung nicht zugelassen, so wird eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels angesetzt mit der Androhung, dass die Rechtsschrift sonst unbeachtet bleibt.
6    Unleserliche, ungebührliche, unverständliche, übermässig weitschweifige oder nicht in einer Amtssprache verfasste Rechtsschriften können in gleicher Weise zur Änderung zurückgewiesen werden.
7    Rechtsschriften, die auf querulatorischer oder rechtsmissbräuchlicher Prozessführung beruhen, sind unzulässig.
et 82
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 82 Grundsatz - Das Bundesgericht beurteilt Beschwerden:
a  gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts;
b  gegen kantonale Erlasse;
c  betreffend die politische Stimmberechtigung der Bürger und Bürgerinnen sowie betreffend Volkswahlen und -abstimmungen.
ss LTF et est, par conséquent, recevable.

1.3. Le recourant conclut uniquement à l'annulation de l'arrêt attaqué. Des conclusions purement cassatoires ne sont en principe pas suffisantes (art. 107 al. 2
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 107 Entscheid - 1 Das Bundesgericht darf nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen.
1    Das Bundesgericht darf nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen.
2    Heisst das Bundesgericht die Beschwerde gut, so entscheidet es in der Sache selbst oder weist diese zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurück. Es kann die Sache auch an die Behörde zurückweisen, die als erste Instanz entschieden hat.
3    Erachtet das Bundesgericht eine Beschwerde auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen oder der internationalen Amtshilfe in Steuersachen als unzulässig, so fällt es den Nichteintretensentscheid innert 15 Tagen seit Abschluss eines allfälligen Schriftenwechsels. Auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen ist es nicht an diese Frist gebunden, wenn das Auslieferungsverfahren eine Person betrifft, gegen deren Asylgesuch noch kein rechtskräftiger Endentscheid vorliegt.96
4    Über Beschwerden gegen Entscheide des Bundespatentgerichts über die Erteilung einer Lizenz nach Artikel 40d des Patentgesetzes vom 25. Juni 195497 entscheidet das Bundesgericht innerhalb eines Monats nach Anhebung der Beschwerde.98
LTF). Dès lors que l'on comprend sans peine qu'en demandant l'annulation de l'arrêt attaqué le recourant conclut implicitement au rétablissement de la décision 17 septembre 2012 du Service de la population et, partant, à la révocation de l'autorisation de séjour CE/AELE de l'intimée, il convient de ne pas se montrer trop formaliste (ATF 133 Il 409 consid. 1.4 p. 414 s.).

1.4. Le 21 juin 2013, le Service de la population a fait parvenir au Tribunal fédéral une pièce nouvelle datant du 14 juin 2013, soit postérieure à l'arrêt attaqué, et qui est donc irrecevable (art. 99 al. 1
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 99 - 1 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt.
1    Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt.
2    Neue Begehren sind unzulässig.
LTF).

2.
Le recourant estime, au contraire du Tribunal cantonal (cf. partie "Faits" let. B.), que le comportement professionnel de l'intimée relève de l'abus de droit; il met en avant le fait que la durée de la première activité lucrative de celle-ci en Suisse lui a permis d'obtenir "au jour près" le droit aux indemnités de l'assurance-chômage; il ajoute que l'intéressée, qui séjourne dans notre pays depuis plus de quatre ans, n'y a travaillé qu'environ quatorze mois (sous déduction des emplois temporaires d'insertion). De plus, au regard de son attitude, l'intimée démontrerait ne pas vouloir se procurer un emploi, de telle sorte qu'elle se trouverait depuis de nombreux mois dans une situation de chômage volontaire ne lui conférant plus la qualité de travailleuse au sens de l'art. 6 annexe I ALCP.

3.

3.1. L'art. 6 par. 1 annexe I ALCP prévoit que le travailleur salarié ressortissant d'une partie contractante (ci-après: le travailleur salarié) qui occupe un emploi d'une durée égale ou supérieure à un an au service d'un employeur de l'Etat d'accueil reçoit un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins à dater de sa délivrance. Celui-ci est automatiquement prolongé pour une durée de cinq ans au moins. Lors du premier renouvellement, sa durée de validité peut être limitée, sans pouvoir être inférieure à un an, lorsque son détenteur se trouve dans une situation de chômage involontaire depuis plus de douze mois consécutifs; selon l'art. 6 par. 6 annexe I ALCP, le titre de séjour en cours de validité ne peut être retiré au travailleur salarié du seul fait qu'il n'occupe plus d'emploi, soit que l'intéressé ait été frappé d'une incapacité temporaire de travail résultant d'une maladie ou d'un accident, soit qu'il se trouve en situation de chômage involontaire dûment constatée par le bureau de main-d'oeuvre compétent.

Aux termes de l'art. 16
IR 0.142.112.681 Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (mit Anhängen, Prot. und Schlussakte)
FZA Art. 16 Bezugnahme auf das Gemeinschaftsrecht - (1) Zur Erreichung der Ziele dieses Abkommens treffen die Vertragsparteien alle erforderlichen Massnahmen, damit in ihren Beziehungen gleichwertige Rechte und Pflichten wie in den Rechtsakten der Europäischen Gemeinschaft, auf die Bezug genommen wird, Anwendung finden.
par. 2 ALCP, dans la mesure où l'application de l'Accord implique des notions de droit communautaire, il sera tenu compte de la jurisprudence pertinente de la Cour de justice des Communautés européennes (actuellement: Cour de justice de l'Union européenne; ci-après: la Cour de justice ou CJCE) antérieure à la date de sa signature. La jurisprudence postérieure à la date de la signature de l'Accord est cependant prise en compte par le Tribunal fédéral pour assurer le parallélisme du système qui existait au moment de la signature de l'Accord et tenir compte de l'évolution de la jurisprudence de l'Union européenne (ATF 136 II 5 consid. 3.4 p. 12 et les références citées, 65 consid. 3.1 p. 70).

La Cour de justice estime que la notion de travailleur, qui délimite le champ d'application du principe de la libre circulation des travailleurs, doit être interprétée de façon extensive, tandis que les exceptions et dérogations à cette liberté fondamentale doivent, au contraire, faire l'objet d'une interprétation stricte (ATF 131 II 339 consid. 3.2 p. 345 et les références aux arrêts de la CJCE Kempf du 3 juin 1986 139/85, Rec. 1986 p. 1741 point 13 et Levin du 23 mars 1982 53/1981, Rec. 1982 p. 1035 point 13, voir aussi Conclusions de l'avocat général du 5 juillet 2007 C-291/05, Rec. 2007 I-10719 point 73). Doit ainsi être considérée comme un "travailleur" la personne qui accomplit, pendant un certain temps, en faveur d'une autre personne et sous la direction de celle-ci, des prestations en contrepartie desquelles elle touche une rémunération (arrêts Brian Francis Collins du 23 mars 2004 C-138/02, Rec. 2004 I-2703 point 26 et Lawrie-Blum du 3 juillet 1986 66/85, Rec. 1986 p. 2121 points 16 et 17). Cela suppose l'exercice d'activités réelles et effectives, à l'exclusion d'activités tellement réduites qu'elles se présentent comme purement marginales et accessoires (arrêt Petersen du 28 février 2013 C-544/11, destiné à la
publication, point 30). Une fois que la relation de travail a pris fin, l'intéressé perd en principe la qualité de travailleur, étant entendu cependant que, d'une part, cette qualité peut produire certains effets après la cessation de la relation de travail et que, d'autre part, une personne à la recherche réelle d'un emploi doit être qualifiée de travailleur (arrêts Caves Krier Frères Sàrl du 13 décembre 2012 C-379/11, destiné à la publication, point 26 et Martinez Sala du 12 mai 1998 C-85/96, Rec. 1998 p. I-2719 point 32). La recherche réelle d'un emploi suppose que l'intéressé apporte la preuve qu'il continue à en chercher un et qu'il a des chances véritables d'être engagé, sinon il n'est pas exclu qu'il soit contraint de quitter le pays d'accueil après six mois (arrêts Brian Francis Collins, précité, point 37, Commission CE du 20 février 1997 C-344/95, Rec. 1997 I-1035 point 17 et Antonissen du 26 février 1991 C-292/89, Rec. 1991 p. I-779 point 22). A ce propos, le Tribunal fédéral considère que, sous réserve d'une situation d'abus de droit où un ressortissant communautaire se rendrait dans un autre Etat membre pour y exercer un travail fictif ou d'une durée extrêmement limitée dans le but de bénéficier de certaines aides (ATF
131 II 339 consid. 3.4 p. 347), les intentions ou le comportement de l'intéressé avant ou après sa période d'emploi ne sont pas déterminants pour examiner sa qualité de travailleur salarié. Seuls comptent les critères objectifs énoncés par la jurisprudence (ATF 131 II 339 consid. 4.3 p. 349).

En vertu de l'art. 23 al. 1 de l'ordonnance fédérale du 22 mai 2002 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, l'Union européenne et ses Etats membres, ainsi qu'entre les Etats membres de l'Association européenne de libre-échange (ordonnance sur l'introduction de la libre circulation des personnes, OLCP; RS 142.203), les autorisations de séjour de courte durée, de séjour et frontalières UE/AELE peuvent être révoquées ou ne pas être prolongées, si les conditions requises pour leur délivrance ne sont plus remplies.

3.2. Comme cela ressort des dispositions et de la jurisprudence susmentionnées, bien qu'octroyée pour une durée initiale de cinq ans, une autorisation de séjour CE/AELE peut être révoquée. Elle peut l'être lorsque les conditions requises pour sa délivrance ne sont plus remplies (cf. art. 6 par. 6 annexe I ALCP en relation avec l'art. 23 al. 1
SR 142.203 Verordnung vom 22. Mai 2002 über den freien Personenverkehr zwischen der Schweiz und der Europäischen Union und deren Mitgliedstaaten, zwischen der Schweiz und dem Vereinigten Königreich sowie unter den Mitgliedstaaten der Europäischen Freihandelsassoziation (Verordnung über den freien Personenverkehr, VFP) - Verordnung über den freien Personenverkehr
VFP Art. 23 Wegfall der Voraussetzungen für das Aufenthaltsrecht - (Anhang I Art. 6 Abs. 6 Freizügigkeitsabkommen
1    Kurzaufenthalts-, Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA und Grenzgängerbewilligungen EU/EFTA können widerrufen oder nicht verlängert werden, wenn die Voraussetzungen für ihre Erteilung nicht mehr erfüllt sind.
2    Für die Niederlassungsbewilligung EU/EFTA gilt Artikel 63 AIG.67
OLCP). Cela ne signifie cependant pas que ces conditions initiales doivent rester remplies sur le long terme; ainsi, une personne qui a obtenu une autorisation de séjour CE/AELE au regard de sa qualité de travailleur, puis qui tombe au chômage involontaire ou se trouve en incapacité temporaire de travail due à une maladie ou à un accident continue à bénéficier de son autorisation et celle-ci peut même, à certaines conditions, être prolongée ( ANDREAS ZÜND/LADINA ARQUINT HILL, §8 Beendigung der Anwesenheit, Entfernung und Fernhaltung, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [éditeurs], Ausländerrecht, 2e éd. no 8.37 p. 333; cf. aussi MARCEL DIETRICH, Die Freizügigkeit der Arbeitnehmer in der Europäischen Union, 1995, p. 293; KAY HAILBRONNER, Ausländerrecht, Kommentar, 1994 ss, état septembre 2013, vol. 4, D 1, no 79 ad § 2 Freizügigkeitsgesetz/EU p. 37). En revanche, une personne qui serait au
chômage volontaire ou qui se comporterait de façon abusive (p. e. en se rendant dans un autre Etat membre pour y exercer un travail fictif ou d'une durée extrêmement limitée dans la seule intention de bénéficier de certaines aides, telles que des prestations sociales meilleures que dans son Etat d'origine) peut se voir retirer son autorisation (cf. supra consid. 3.1) (ATF 131 II 339 consid. 3.4 p. 347).

4.

4.1. En l'espèce, l'intimée, est au bénéfice d'une autorisation de séjour CE/AELE valable cinq ans pour exercer une activité lucrative à temps complet dans toute la Suisse. Après avoir travaillé un mois à temps plein à son arrivée en Suisse, soit du 1er au 31 mars 2009, elle a conclu un nouveau contrat de travail avec la même société pour une activité à 50%; puis elle a été licenciée pour cause de restructuration le 28 février 2010, soit une année après le début de son activité lucrative dans notre pays. A ce moment-là, l'intimée devait être considérée comme travailleuse salariée au sens de l'art. 6 par. 1 annexe I ALCP puisqu'elle remplissait les conditions définies par la jurisprudence (cf. supra consid. 3.1) et qu'elle était au chômage involontaire (art. 6 par. 6 annexe I ALCP; cf. aussi art. 7 par. 3 let. b de la directive 2004/38/CE du 29 avril 2004 du Parlement européen et du Conseil relative au droit des citoyens de l'Union et des membres de leurs familles de circuler et de séjourner librement sur le territoire des Etats membres). Cela impliquait que, étant au chômage depuis le 1er mars 2010, elle bénéficie des mêmes droits que les nationaux en matière de prestations sociales (cf. Alvaro Borghi, La libre circulation des
personnes entre la Suisse et l'UE, 2010, § 144 p. 71 et § 359 p. 171). Tel a été le cas, l'intimée ayant perçu, dans un premier temps, les indemnités de l'assurance-chômage puis, dans un second temps, des prestations de l'aide sociale.

Il s'agit maintenant de déterminer si, compte tenu de l'évolution de la situation, l'intéressée a gardé son statut de travailleur salarié ou si, au contraire, elle l'a perdu. Il faut se pencher sur cette question avant d'examiner si son comportement relève de l'abus de droit, comme le soutient le recourant, puisque si l'on devait constater que l'intimée ne peut plus être qualifiée de travailleuse, elle n'aurait plus de droit au séjour en Suisse (compte tenu de sa situation financière défavorable) et, partant, ne pourrait commettre d'abus de droit.

4.2. Après son licenciement, l'intimée a été huit mois au chômage. Puis elle a occupé un emploi temporaire d'insertion, fourni par un office régional de placement, d'une durée de six mois, soit du 18 octobre 2010 au 17 avril 2011, auprès de l'administration.

Les emplois temporaires d'insertion sont destinés aux personnes au chômage et consistent dans des postes de durée déterminée. Bien que dénommés "emplois", ils s'en distinguent par deux caractéristiques principales: premièrement, la personne concernée, soit l'assuré au chômage, ne conclut pas de contrat de travail: une "mesure d'emploi" lui est assignée et il ne peut pas la refuser, sous peine de sanction (cf. art. 30 al. 1 let. d
SR 837.0 Bundesgesetz vom 25. Juni 1982 über die obligatorische Arbeitslosenversicherung und die Insolvenzentschädigung (Arbeitslosenversicherungsgesetz, AVIG) - Arbeitslosenversicherungsgesetz
AVIG Art. 30 - 1 Der Versicherte ist in der Anspruchsberechtigung einzustellen, wenn er:
1    Der Versicherte ist in der Anspruchsberechtigung einzustellen, wenn er:
a  durch eigenes Verschulden arbeitslos ist;
b  zu Lasten der Versicherung auf Lohn- oder Entschädigungsansprüche gegenüber dem bisherigen Arbeitgeber verzichtet hat;
c  sich persönlich nicht genügend um zumutbare Arbeit bemüht;
d  die Kontrollvorschriften oder die Weisungen der zuständigen Amtsstelle nicht befolgt, namentlich eine zumutbare Arbeit nicht annimmt oder eine arbeitsmarktliche Massnahme ohne entschuldbaren Grund nicht antritt, abbricht oder deren Durchführung oder Zweck durch sein Verhalten beeinträchtigt oder verunmöglicht;
e  unwahre oder unvollständige Angaben gemacht oder in anderer Weise die Auskunfts- oder Meldepflicht verletzt hat;
f  Arbeitslosenentschädigung zu Unrecht erwirkt oder zu erwirken versucht hat, oder
g  während der Planungsphase eines Projektes Taggelder bezog (Art. 71a Abs. 1) und nach Abschluss der Planungsphase aus eigenem Verschulden keine selbstständige Erwerbstätigkeit aufnimmt.
2    Die kantonale Amtsstelle verfügt Einstellungen nach Absatz 1 Buchstaben c, d und g sowie nach Absatz 1 Buchstabe e, sofern die Auskunfts- oder Meldepflicht gegenüber ihr oder dem Arbeitsamt verletzt wurde. In den übrigen Fällen verfügen die Kassen.139
3    Die Einstellung gilt nur für Tage, für die der Arbeitslose die Voraussetzungen der Anspruchsberechtigung erfüllt. Sie wird auf die Höchstzahl der Taggelder nach Artikel 27 angerechnet. Die Dauer der Einstellung bemisst sich nach dem Grad des Verschuldens und beträgt je Einstellungsgrund höchstens 60 Tage, im Falle von Absatz 1 Buchstabe g höchstens 25 Tage.140 Der Vollzug der Einstellung fällt binnen sechs Monaten, nachdem die Einstellungsfrist zu laufen begonnen hat, dahin.141
3bis    Der Bundesrat kann eine Mindestdauer der Einstellung vorschreiben.142
4    Stellt eine Kasse einen Arbeitslosen in der Anspruchsberechtigung nicht ein, obwohl ein Einstellungsgrund vorliegt, so verfügt die kantonale Amtsstelle die Einstellung.
, 59 al. 1
SR 837.0 Bundesgesetz vom 25. Juni 1982 über die obligatorische Arbeitslosenversicherung und die Insolvenzentschädigung (Arbeitslosenversicherungsgesetz, AVIG) - Arbeitslosenversicherungsgesetz
AVIG Art. 59 Grundsätze - 1 Die Versicherung erbringt finanzielle Leistungen für arbeitsmarktliche Massnahmen zu Gunsten von versicherten Personen und von Personen, die von Arbeitslosigkeit bedroht sind.
1    Die Versicherung erbringt finanzielle Leistungen für arbeitsmarktliche Massnahmen zu Gunsten von versicherten Personen und von Personen, die von Arbeitslosigkeit bedroht sind.
1bis    Arbeitsmarktliche Massnahmen sind Bildungsmassnahmen (2. Abschnitt), Beschäftigungsmassnahmen (3. Abschnitt) und spezielle Massnahmen (4. Abschnitt).193
1ter    Personen, die unmittelbar von Arbeitslosigkeit bedroht sind, können nur Leistungen nach Artikel 60 beanspruchen.194
1quater    Auf Gesuch eines Kantons kann die Ausgleichsstelle für Personen, die im Rahmen von Massenentlassungen von Arbeitslosigkeit bedroht sind, die Teilnahme an arbeitsmarktlichen Massnahmen bewilligen.195
2    Mit arbeitsmarktlichen Massnahmen soll die Eingliederung von Versicherten, die aus Gründen des Arbeitsmarktes erschwert vermittelbar sind, gefördert werden. Solche Massnahmen sollen insbesondere:
a  die Vermittlungsfähigkeit der Versicherten verbessern, damit diese rasch und dauerhaft wieder eingegliedert werden können;
b  die beruflichen Qualifikationen entsprechend den Bedürfnissen des Arbeitsmarkts fördern;
c  die Gefahr von Langzeitarbeitslosigkeit vermindern; oder
d  die Möglichkeit bieten, Berufserfahrungen zu sammeln.
3    Für die Teilnahme an arbeitsmarktlichen Massnahmen nach den Artikeln 60-71d müssen erfüllt sein:
a  die Anspruchsvoraussetzungen nach Artikel 8, sofern nichts anderes bestimmt ist; und
b  die spezifischen Voraussetzungen für die betreffende Massnahme.
3bis    Versicherte, die älter als 50 Jahre sind und die Voraussetzungen nach Absatz 3 erfüllen, können unabhängig von ihrem Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung bis ans Ende ihrer Rahmenfrist für den Leistungsbezug an Bildungs- und Beschäftigungsmassnahmen teilnehmen.196
4    Im Hinblick auf die Eingliederung von behinderten Versicherten arbeiten die zuständigen Amtsstellen mit den Organen der Invalidenversicherung zusammen.
5    Im Hinblick auf die Eingliederung von Versicherten mit Migrationshintergrund arbeiten die zuständigen Amtsstellen mit den öffentlichen und privaten Durchführungsorganen der Asyl-, Ausländer- und Integrationsgesetzgebung zusammen.197
-1bis
SR 837.0 Bundesgesetz vom 25. Juni 1982 über die obligatorische Arbeitslosenversicherung und die Insolvenzentschädigung (Arbeitslosenversicherungsgesetz, AVIG) - Arbeitslosenversicherungsgesetz
AVIG Art. 59 Grundsätze - 1 Die Versicherung erbringt finanzielle Leistungen für arbeitsmarktliche Massnahmen zu Gunsten von versicherten Personen und von Personen, die von Arbeitslosigkeit bedroht sind.
1    Die Versicherung erbringt finanzielle Leistungen für arbeitsmarktliche Massnahmen zu Gunsten von versicherten Personen und von Personen, die von Arbeitslosigkeit bedroht sind.
1bis    Arbeitsmarktliche Massnahmen sind Bildungsmassnahmen (2. Abschnitt), Beschäftigungsmassnahmen (3. Abschnitt) und spezielle Massnahmen (4. Abschnitt).193
1ter    Personen, die unmittelbar von Arbeitslosigkeit bedroht sind, können nur Leistungen nach Artikel 60 beanspruchen.194
1quater    Auf Gesuch eines Kantons kann die Ausgleichsstelle für Personen, die im Rahmen von Massenentlassungen von Arbeitslosigkeit bedroht sind, die Teilnahme an arbeitsmarktlichen Massnahmen bewilligen.195
2    Mit arbeitsmarktlichen Massnahmen soll die Eingliederung von Versicherten, die aus Gründen des Arbeitsmarktes erschwert vermittelbar sind, gefördert werden. Solche Massnahmen sollen insbesondere:
a  die Vermittlungsfähigkeit der Versicherten verbessern, damit diese rasch und dauerhaft wieder eingegliedert werden können;
b  die beruflichen Qualifikationen entsprechend den Bedürfnissen des Arbeitsmarkts fördern;
c  die Gefahr von Langzeitarbeitslosigkeit vermindern; oder
d  die Möglichkeit bieten, Berufserfahrungen zu sammeln.
3    Für die Teilnahme an arbeitsmarktlichen Massnahmen nach den Artikeln 60-71d müssen erfüllt sein:
a  die Anspruchsvoraussetzungen nach Artikel 8, sofern nichts anderes bestimmt ist; und
b  die spezifischen Voraussetzungen für die betreffende Massnahme.
3bis    Versicherte, die älter als 50 Jahre sind und die Voraussetzungen nach Absatz 3 erfüllen, können unabhängig von ihrem Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung bis ans Ende ihrer Rahmenfrist für den Leistungsbezug an Bildungs- und Beschäftigungsmassnahmen teilnehmen.196
4    Im Hinblick auf die Eingliederung von behinderten Versicherten arbeiten die zuständigen Amtsstellen mit den Organen der Invalidenversicherung zusammen.
5    Im Hinblick auf die Eingliederung von Versicherten mit Migrationshintergrund arbeiten die zuständigen Amtsstellen mit den öffentlichen und privaten Durchführungsorganen der Asyl-, Ausländer- und Integrationsgesetzgebung zusammen.197
et 64a al. 1
SR 837.0 Bundesgesetz vom 25. Juni 1982 über die obligatorische Arbeitslosenversicherung und die Insolvenzentschädigung (Arbeitslosenversicherungsgesetz, AVIG) - Arbeitslosenversicherungsgesetz
AVIG Art. 64a Programme zur vorübergehenden Beschäftigung, Berufspraktika und Motivationssemester
1    Als Beschäftigungsmassnahmen gelten namentlich vorübergehende Beschäftigungen im Rahmen von:
a  Programmen öffentlicher oder privater, nicht gewinnorientierter Institutionen; solche Programme dürfen die Privatwirtschaft nicht unmittelbar konkurrenzieren;
b  Berufspraktika in Unternehmen und in der Verwaltung; im Falle erhöhter Arbeitslosigkeit kann der Bundesrat die Teilnahme an Berufspraktika für Personen während einer Wartezeit nach Artikel 18 Absatz 2 vorsehen;
c  Motivationssemestern für Versicherte, die nach Erfüllung der obligatorischen Schulpflicht einen Ausbildungsplatz suchen, wenn sie über keinen Berufsabschluss verfügen und die Schulzeit nicht mit einer Maturität abgeschlossen haben.
2    Für die Teilnahme an einer vorübergehenden Beschäftigung nach Absatz 1 Buchstabe a gilt Artikel 16 Absatz 2 Buchstabe c sinngemäss.
3    Für die Teilnahme an einer vorübergehenden Beschäftigung nach Absatz 1 Buchstabe b gilt Artikel 16 Absatz 2 Buchstaben c und e-h sinngemäss.
4    Für die Teilnahme an einer vorübergehenden Beschäftigung nach Absatz 1 Buchstabe c gelten die Artikel 16 Absatz 2 Buchstabe c und 59d Absatz 1 sinngemäss.
5    Der Bundesrat legt den monatlichen Unterstützungsbeitrag für diejenigen Personen fest, die während der Wartezeit an einem Motivationssemester teilnehmen.219
LACI); deuxièmement, aucun salaire ne lui est versé (il peut s'agir d'emplois subventionnés [cf. art. 59c
SR 837.0 Bundesgesetz vom 25. Juni 1982 über die obligatorische Arbeitslosenversicherung und die Insolvenzentschädigung (Arbeitslosenversicherungsgesetz, AVIG) - Arbeitslosenversicherungsgesetz
AVIG Art. 59c Zuständigkeit und Verfahren - 1 Beitragsgesuche für arbeitsmarktliche Massnahmen sind begründet und rechtzeitig vor Beginn der zuständigen Amtsstelle einzureichen.
1    Beitragsgesuche für arbeitsmarktliche Massnahmen sind begründet und rechtzeitig vor Beginn der zuständigen Amtsstelle einzureichen.
2    Die zuständige Amtsstelle entscheidet über Beitragsgesuche für spezielle Massnahmen nach den Artikeln 65-71d und für individuelle Bildungsmassnahmen.
3    Sie leitet Beitragsgesuche für kollektive Bildungs- und für Beschäftigungsmassnahmen mit einer Stellungnahme an die Ausgleichsstelle weiter. Diese entscheidet über die Beitragsgewährung. Sie erstattet der Aufsichtskommission periodisch Bericht.
4    Wird eine arbeitsmarktliche Massnahme gesamtschweizerisch organisiert, so ist das Beitragsgesuch direkt der Ausgleichsstelle einzureichen.
5    Der Bundesrat kann die Ausgleichsstelle ermächtigen, die Entscheidkompetenz über Beitragsgesuche für kollektive Bildungs- und für Beschäftigungsmassnahmen bis zu einem von ihm bestimmten Höchstbetrag den zuständigen Amtsstellen zu übertragen. Er kann zu diesem Zweck Richtlinien für die Qualitätsprüfung bei den Bildungsmassnahmen aufstellen.
et 59cbis LACI; ATF 133 V 536 consid. 4.1 p. 540]); la personne concernée continue en principe à toucher les prestations de l'assurance-chômage auxquelles elle a droit. Compte tenu notamment de ces deux éléments, soit l'absence de contrat de travail et de rémunération (cf. supra consid. 2.1; cf. aussi sur les conditions à remplir pour être considéré comme un travailleur en droit communautaire: Marcel Dietrich, op. cit., no 3 p. 271 ss), un tel emploi ne confère pas la qualité de travailleur à la personne qui l'exerce.

4.3. Ce travail temporaire d'insertion a été suivi d'une nouvelle période d'inactivité de six mois de mi-avril 2011 à fin septembre 2011; en outre, depuis la fin mars 2011, l'intimée n'avait plus droit aux prestations de l'assurance-chômage et elle a alors bénéficié de l'aide sociale.

Le Tribunal fédéral n'a jamais eu à déterminer à partir de quel moment exactement un étranger perd la qualité de travailleur une fois au chômage involontaire; il a en revanche déjà jugé que le détenteur d'une autorisation de séjour CE/AELE au chômage involontaire pendant dix-huit mois - mois durant lesquels la personne était restée inactive et avait touché des indemnités de chômage puis des prestations d'assistance - perdait le statut de travailleur (RtiD 2012 I p. 152 consid. 4.3, 2C_967/2010). On peut ajouter que, selon la jurisprudence allemande, la qualité de travailleur s'éteint lorsque le placement du ressortissant de l'UE au chômage, sans être toutefois durablement en incapacité de travail, est définitivement exclu et qu'il n'a plus droit aux indemnités de chômage; il en va de même de celui qui n'a pas sérieusement l'intention de trouver un travail (Bertold Huber, Aufenthaltsgesetz - AufenthG - mit Freizügigkeitsgesetz/EU, ARB 1/80 und Qualifikationsrichtlinie, Kommentar, 2010, n. 46 p. 917). Dès lors, dans le cas présent, bien que l'intéressée se soit trouvée dans une situation de chômage involontaire - ce qui lui permettait de garder initialement la qualité de travailleuse -, il faut considérer qu'au plus tard à la fin
septembre 2011, celle-ci ne pouvait plus être qualifiée de travailleur au sens de l'ALCP. En effet, à ce moment-là, elle était au chômage depuis dix-huit mois; elle avait épuisé son droit aux indemnités de chômage et émargeait à l'aide sociale; de plus, elle ne semblait pas être en mesure de trouver un emploi durable au regard notamment des dix-huit mois passés sans activité lucrative (hormis l'emploi d'insertion), de ses très nombreux arrêts maladie et de son manque de qualification professionnelle. En conséquence, les conditions requises pour la délivrance de l'autorisation de séjour n'étant plus réalisées à fin septembre 2011 et l'intimée n'étant plus dans une des situations permettant le séjour malgré l'absence de ces conditions, l'autorisation de séjour CE/AELE aurait pu alors être révoquée (art. 23 al. 1
SR 142.203 Verordnung vom 22. Mai 2002 über den freien Personenverkehr zwischen der Schweiz und der Europäischen Union und deren Mitgliedstaaten, zwischen der Schweiz und dem Vereinigten Königreich sowie unter den Mitgliedstaaten der Europäischen Freihandelsassoziation (Verordnung über den freien Personenverkehr, VFP) - Verordnung über den freien Personenverkehr
VFP Art. 23 Wegfall der Voraussetzungen für das Aufenthaltsrecht - (Anhang I Art. 6 Abs. 6 Freizügigkeitsabkommen
1    Kurzaufenthalts-, Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA und Grenzgängerbewilligungen EU/EFTA können widerrufen oder nicht verlängert werden, wenn die Voraussetzungen für ihre Erteilung nicht mehr erfüllt sind.
2    Für die Niederlassungsbewilligung EU/EFTA gilt Artikel 63 AIG.67
OLCP en relation avec l'art. 6 par. 6 Annexe I ALCP).

4.4. Il faut maintenant examiner si les deux autres postes occupés ensuite par l'intimée lui ont fait retrouver sa qualité de travailleur. Le premier (auprès de B.________) devait durer trois mois, soit du 1er octobre au 31 décembre 2011, mais l'intéressée l'a quitté après deux mois; cette activité était un emploi d'insertion, obtenu en qualité de bénéficiaire de l'aide sociale, avec, contrairement à celui obtenu en tant que bénéficiaire des indemnités de chômage, un salaire mensuel brut de 2'700.- fr. Puis, après une nouvelle période d'inactivité de six mois, l'intimée a signé un contrat d'une durée de trois mois maximum, soit du 24 mai au 24 août 2012, avec la société C.________ SA. Pour cet emploi de "pickeur", exercé à 80%, l'intimée a touché une rémunération d'un montant total de 6'541 fr.

Le recourant prétend qu'avec l'emploi d'insertion auprès de B.________ l'intimée ne retrouvait pas la qualité de travailleur car il s'agissait d'un travail social qui avait pour but la rééducation et la réinsertion (cf. arrêt de la CJCE Bettray du 31 mai 1989 344/87, Rec. 1989 1621).

Il est vrai que cet emploi d'insertion a des caractéristiques et des buts similaires à celui assigné à l'intimée auprès de l'administration (cf. consid. 4.2) si ce n'est qu'il était rémunéré. Quoi qu'il en soit ni l'emploi d'insertion à B.________ ni celui auprès de C.________ SA n'ont permis à l'intimée de réactiver son statut de travailleuse, compte tenu de leur brièveté (deux mois pour l'un, trois pour l'autre), du fait qu'ils suivaient de longues périodes de chômage et qu'ils ont été séparés par plus de six mois d'inactivité, soit du 5 décembre 2011 au 24 mai 2012, et qu'au surplus l'intimée touchait des prestations sociales (chômage puis revenu d'insertion) depuis le 28 février 2010. Dans l'arrêt précité 2C_967/2010, le Tribunal fédéral a en effet estimé qu'une personne qui avait perçu des indemnités de chômage puis des prestations d'assistance et qui, après une période d'inactivité de plus d'un an et demi, retrouvait un emploi qui n'avait duré que trois mois ne pouvait se voir à nouveau qualifiée de travailleur au sens de l'Accord (cf. sur la durée des rapports de travail en droit communautaire: Marcel Dietrich, op. cit., let. bbb. p. 278 et les arrêts cités). Il résulte de ce qui précède que, compte tenu de l'évolution de
sa situation, l'intimée a perdu la qualité de travailleur.

5.

5.1. Il n'en demeure pas moins qu'avec le contrat de travail conclu avec C.________ SA (d'une durée inférieure à un an), l'intéressée a acquis le droit de rester au moins six mois en Suisse, à la fin de cette activité, afin d'y chercher un nouvel emploi (cf. RtiD 2012 I p. 152 consid. 4.3, 2C_967/2010).

5.2. Ce droit est octroyé par l'art. 2
IR 0.142.112.681 Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (mit Anhängen, Prot. und Schlussakte)
FZA Art. 2 Nichtdiskriminierung - Die Staatsangehörigen einer Vertragspartei, die sich rechtmässig im Hoheitsgebiet einer anderen Vertragspartei aufhalten, werden bei der Anwendung dieses Abkommens gemäss den Anhängen I, II und III nicht auf Grund ihrer Staatsangehörigkeit diskriminiert.
par. 1 al. 2 annexe I ALCP pour permettre aux ressortissants d'un Etat membre de prendre connaissance des offres d'emplois correspondant à leurs qualifications professionnelles et d'effectuer, le cas échéant, les démarches nécessaires aux fins d'être engagés. Cette règle conventionnelle est concrétisée à l'art. 18
SR 142.203 Verordnung vom 22. Mai 2002 über den freien Personenverkehr zwischen der Schweiz und der Europäischen Union und deren Mitgliedstaaten, zwischen der Schweiz und dem Vereinigten Königreich sowie unter den Mitgliedstaaten der Europäischen Freihandelsassoziation (Verordnung über den freien Personenverkehr, VFP) - Verordnung über den freien Personenverkehr
VFP Art. 18 Aufenthalte zur Stellensuche - (Art. 2 Anhang I Freizügigkeitsabkommen
1    EU- und EFTA-Angehörige benötigen zur Stellensuche bis zu einem Aufenthalt von drei Monaten keine Bewilligung.
2    Sie erhalten für eine länger dauernde Stellensuche eine Kurzaufenthaltsbewilligung EU/EFTA mit einer Gültigkeitsdauer von drei Monaten im Kalenderjahr, sofern sie über die für den Unterhalt notwendigen finanziellen Mittel verfügen.64
3    Diese Bewilligung kann bis zu einem Jahr verlängert werden, sofern die EU- und EFTA-Angehörigen Suchbemühungen nachweisen und begründete Aussicht auf eine Beschäftigung besteht.
OLCP (ATF 130 II 388 consid. 3.3 p. 393). Après les six premiers mois de recherche d'emploi (art. 18 al. 2
SR 142.203 Verordnung vom 22. Mai 2002 über den freien Personenverkehr zwischen der Schweiz und der Europäischen Union und deren Mitgliedstaaten, zwischen der Schweiz und dem Vereinigten Königreich sowie unter den Mitgliedstaaten der Europäischen Freihandelsassoziation (Verordnung über den freien Personenverkehr, VFP) - Verordnung über den freien Personenverkehr
VFP Art. 18 Aufenthalte zur Stellensuche - (Art. 2 Anhang I Freizügigkeitsabkommen
1    EU- und EFTA-Angehörige benötigen zur Stellensuche bis zu einem Aufenthalt von drei Monaten keine Bewilligung.
2    Sie erhalten für eine länger dauernde Stellensuche eine Kurzaufenthaltsbewilligung EU/EFTA mit einer Gültigkeitsdauer von drei Monaten im Kalenderjahr, sofern sie über die für den Unterhalt notwendigen finanziellen Mittel verfügen.64
3    Diese Bewilligung kann bis zu einem Jahr verlängert werden, sofern die EU- und EFTA-Angehörigen Suchbemühungen nachweisen und begründete Aussicht auf eine Beschäftigung besteht.
OLCP), l'autorisation accordée peut être prolongée jusqu'à une année au plus pour autant que la personne concernée soit en mesure de prouver les efforts déployés à cet effet et qu'il existe une réelle perspective d'engagement (art. 18 al. 3
SR 142.203 Verordnung vom 22. Mai 2002 über den freien Personenverkehr zwischen der Schweiz und der Europäischen Union und deren Mitgliedstaaten, zwischen der Schweiz und dem Vereinigten Königreich sowie unter den Mitgliedstaaten der Europäischen Freihandelsassoziation (Verordnung über den freien Personenverkehr, VFP) - Verordnung über den freien Personenverkehr
VFP Art. 18 Aufenthalte zur Stellensuche - (Art. 2 Anhang I Freizügigkeitsabkommen
1    EU- und EFTA-Angehörige benötigen zur Stellensuche bis zu einem Aufenthalt von drei Monaten keine Bewilligung.
2    Sie erhalten für eine länger dauernde Stellensuche eine Kurzaufenthaltsbewilligung EU/EFTA mit einer Gültigkeitsdauer von drei Monaten im Kalenderjahr, sofern sie über die für den Unterhalt notwendigen finanziellen Mittel verfügen.64
3    Diese Bewilligung kann bis zu einem Jahr verlängert werden, sofern die EU- und EFTA-Angehörigen Suchbemühungen nachweisen und begründete Aussicht auf eine Beschäftigung besteht.
OLCP).

5.3. L'intimée n'a produit, durant la procédure, aucune proposition d'embauche de la part d'un employeur ni aucune offre qu'elle aurait formulée à de potentiels employeurs, soit en réponse à une annonce, soit spontanément. En outre, alors qu'elle est au chômage depuis le 28 février 2010, elle n'a été capable de trouver qu'un seul travail, soit celui de trois mois auprès de la société C.________ SA en été 2012; il est d'ailleurs révélateur de constater que ce contrat de travail a été conclu le 24 mai 2012, soit quelques jours après que le Service de la population l'eut informée de son intention de révoquer l'autorisation de séjour en cause. De plus, les trois activités exercées (dont deux ont été fournies par les services publics compétents) ont été entrecoupées par de très nombreuses absences pour cause de maladie sans que l'intéressée ne prétende souffrir d'une maladie particulière qui expliquerait ces absences. Il faut encore retenir que celle-ci n'a plus droit aux indemnités de chômage et qu'elle touche l'aide sociale depuis le 1er avril 2011. Finalement, l'office régional de placement a clos le dossier de l'intimée le 24 mai 2012 et elle ne peut donc plus compter sur cette aide pour trouver du travail. Les éléments qui
précèdent démontrent que l'intimée n'a pas fourni d'effort pour trouver un emploi et qu'il n'existe aucune réelle perspective d'engagement.

5.4. Les six mois prévus pour la recherche d'un emploi par les art. 2
IR 0.142.112.681 Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (mit Anhängen, Prot. und Schlussakte)
FZA Art. 2 Nichtdiskriminierung - Die Staatsangehörigen einer Vertragspartei, die sich rechtmässig im Hoheitsgebiet einer anderen Vertragspartei aufhalten, werden bei der Anwendung dieses Abkommens gemäss den Anhängen I, II und III nicht auf Grund ihrer Staatsangehörigkeit diskriminiert.
par. 1 al. 2 Annexe I ALCP et 18 al. 3 OLCP sont arrivés à échéance le 24 février 2013. L'intimée n'ayant démontré ni les efforts déployés à cet effet ni qu'il existe une réelle perspective d'engagement, elle ne peut plus séjourner en Suisse; dès lors, son autorisation de séjour CE/AELE peut être révoquée.

6.
L'intimée ne remplit pas non plus les conditions qui lui permettraient de continuer à séjourner dans notre pays en qualité de personne n'exerçant pas d'activité économique au sens de l'art. 24
IR 0.142.112.681 Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (mit Anhängen, Prot. und Schlussakte)
FZA Art. 24 Räumlicher Geltungsbereich - Dieses Abkommen gilt für das Hoheitsgebiet der Schweiz einerseits und die Gebiete, in denen der Vertrag zur Gründung der Europäischen Gemeinschaft Anwendung findet, und nach Massgabe jenes Vertrags andererseits.
annexe I ALCP, dès lors qu'elle ne dispose pas de moyens suffisants d'existence (cf. arrêt 2C_471/2012 du 18 janvier 2013 consid. 4.4 in fine).

7.
L'intimée n'ayant plus de droit à séjourner en Suisse, il ne peut dès lors pas être question d'abus de droit, argument soutenu par le recourant. On peut néanmoins ajouter qu'au regard du dossier il est douteux que l'intimée ait eu la volonté de trouver du travail dans notre pays après son licenciement et que son comportement trahit l'intention d'utiliser la libre circulation à des fins abusives. Cet abus aurait suffi à révoquer l'autorisation de séjour de l'intéressée, si l'on était arrivé à la conclusion que celle-ci bénéficiait encore d'un droit à une autorisation de séjour (cf. consid. 3.1).

8.
Compte tenu des éléments qui précèdent, le recours est admis et l'arrêt attaqué annulé. La décision du 17 septembre 2012 du Service de la population de révoquer l'autorisation de séjour de l'intimée est rétablie.

Succombant, l'intimée supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 66 Erhebung und Verteilung der Gerichtskosten - 1 Die Gerichtskosten werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt. Wenn die Umstände es rechtfertigen, kann das Bundesgericht die Kosten anders verteilen oder darauf verzichten, Kosten zu erheben.
1    Die Gerichtskosten werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt. Wenn die Umstände es rechtfertigen, kann das Bundesgericht die Kosten anders verteilen oder darauf verzichten, Kosten zu erheben.
2    Wird ein Fall durch Abstandserklärung oder Vergleich erledigt, so kann auf die Erhebung von Gerichtskosten ganz oder teilweise verzichtet werden.
3    Unnötige Kosten hat zu bezahlen, wer sie verursacht.
4    Dem Bund, den Kantonen und den Gemeinden sowie mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisationen dürfen in der Regel keine Gerichtskosten auferlegt werden, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis, ohne dass es sich um ihr Vermögensinteresse handelt, das Bundesgericht in Anspruch nehmen oder wenn gegen ihre Entscheide in solchen Angelegenheiten Beschwerde geführt worden ist.
5    Mehrere Personen haben die ihnen gemeinsam auferlegten Gerichtskosten, wenn nichts anderes bestimmt ist, zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung zu tragen.
LTF). Agissant dans l'exercice de ses attributions officielles, l'Office fédéral des migrations ne peut se voir octroyer des dépens (art. 68 al. 3
SR 173.110 Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG) - Bundesgerichtsgesetz
BGG Art. 68 Parteientschädigung - 1 Das Bundesgericht bestimmt im Urteil, ob und in welchem Mass die Kosten der obsiegenden Partei von der unterliegenden zu ersetzen sind.
1    Das Bundesgericht bestimmt im Urteil, ob und in welchem Mass die Kosten der obsiegenden Partei von der unterliegenden zu ersetzen sind.
2    Die unterliegende Partei wird in der Regel verpflichtet, der obsiegenden Partei nach Massgabe des Tarifs des Bundesgerichts alle durch den Rechtsstreit verursachten notwendigen Kosten zu ersetzen.
3    Bund, Kantonen und Gemeinden sowie mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisationen wird in der Regel keine Parteientschädigung zugesprochen, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegen.
4    Artikel 66 Absätze 3 und 5 ist sinngemäss anwendbar.
5    Der Entscheid der Vorinstanz über die Parteientschädigung wird vom Bundesgericht je nach Ausgang des Verfahrens bestätigt, aufgehoben oder geändert. Dabei kann das Gericht die Entschädigung nach Massgabe des anwendbaren eidgenössischen oder kantonalen Tarifs selbst festsetzen oder die Festsetzung der Vorinstanz übertragen.
LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:

1.
Le recours est admis, l'arrêt du 21 mars 2013 du Tribunal cantonal du canton de Vaud annulé et la décision du 17 septembre 2012 du Service de la population du canton de Vaud révoquant l'autorisation de séjour de l'intimée rétablie.

2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr.-, sont mis à la charge de l'intimée.

3.
Le présent arrêt est communiqué à l'Office fédéral des migrations et au représentant de l'intimée, ainsi qu'au Service de la population et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.

Lausanne, le 10 avril 2014

Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse

Le Président: Zünd

La Greffière: Jolidon